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Dato un triangolo T con i lati a, b, c, trovare il tetraedro, con la base T, tale che tutte le sue facce sono triangoli acuti con la stessa area.

Che significa "trovare"? Significa dare una costruzione che permetta di trovarlo? In tal caso siano h, k e l le altezze relative rispettivamente ai lati a, b e c. Si tracci la superficie cilindrica con altezza a e raggio h, poi quella con altezza b e raggio k, poi quella con altezza c e raggio l. I punti di intersezione di tali cilindri saranno i possibili "quarti vertici" del tetraedro richiesto: le facce infatti avranno la stessa area del triangolo di partenza.

Se invece per "trovare" intendi dare un'espressione, in funzione di a, b e c, dei lati di quel tetraedro, allora chiamando $ A_1, A_2, A_3, A_4 $ le aree delle facce del tetraedro (esprimibili con la formula di Erone con i rispettivi lati) e d, e, f gli altri 3 lati, ti risolvi il sistema di 3 equazioni in 3 incognite (a, b e c sono da considerarsi noti):

$ A_1 = A_2 $
$ A_2 = A_3 $
$ A_3 = A_4 $

Siccome sono 3 equazioni (indipendenti) in 3 incognite, allora, se una soluzione esiste (cioè se quei 3 cilindri di prima effettivamente si incontrano in un punto) si trova con parecchi calcoli.

E' una cattiva traduzione del "find" inglese

Credo che la tua prima ipotesi sia quella giusta, ma in tal caso, come fai a dire che sicuramente le tre superfici si incontrano in almeno un punto?

Se trasformo il tetraedro regolare con un'affinità che mandi il triangolo equilatero di base nel triangolo abc dato (che esiste ed è unica nel piano, quindi è unica a meno di rototraslazioni nello spazio), allora il tetraedro trasformato soddista le nostre richieste, dato che un'affinità conserva i rapporti tra le aree.
Quindi un tetraedro di tal genere esiste, e siccome il quarto vertice è intersezione di quei tre cilindri, allora almeno un punto di intersezione esiste.

Mmm credo che il concetto del problema sia "Ehi, guardate, con un'idea figa si vede al volo che ne esiste uno facile facile! Fatevi venire anche voi l'idea!".
Alla luce di ciò, riprovate lasciando stare i contazzi con Erone e cose poco formalizzate sulle superfici e affinità in 3 dimensioni.

mmm... se ho capito bene l'idea figa a cui si riferisce julio14 è questa: detti A,B,C i vertici opposti rispettivamente ai lati a,b,c, prendo la sfera con raggio a e centro in A, la sfera con raggio b e centro in B e la sfera con raggio c e centro in C. I 2 punti di intersezione delle loro superfici (uno per ciascuna delle 2 parti in cui il piano divide lo spazio) li chiamo D,E. A questo punto i 2 tetraedri ABCD e ABCE soddisfano le condizioni del problema perchè hanno tutte le facce congruenti al triangolo T.

Resta comunque il fatto che il testo è molto ambiguo... probabilmente di fronte a un testo del genere mi sarei limitato a scrivere le poche righe qui sopra, perchè è più o meno palese che il problema ti chieda un'idea del genere, ma è molto meno evidente come tu debba metterla su carta

Basta prendere altri 3 triangoli uguali alla base!
EDIT: è uguale al tuo.

ma a questo punto come si può dire che sono gli unici?

Maioc92 ha scritto:prendo la sfera con raggio a e centro in A, la sfera con raggio b e centro in B e la sfera con raggio c e centro in C.

Sbaglio o è praticamente la stessa idea dei cilindri? E comunque non è così banale che si incontrino in un punto: se le tre circonferenze che sono staccate su ogni sfera non hanno punti in comune (possibile dato che si è nello spazio) allora non si incontrano mai. Questo non accade, ma perché?
Inoltre se si costruisce una sfera su un vertice del triangolo di base, alcuni punti di essa formeranno angoli ottusi con il lato di base. Potrebbe darsi che i punti di intersezione siano fra quelli, ma il testo richiede che i triangoli delle varie facce siano acutangoli. Perché questo non avviene?

Credo che quella di Maioc92 sia solo un modo complicato di dire di prendere altri 3 triangoli uguali alla base e di "attaccarli" ai lati della base. Con quattro triangoli uguali è sempre possibile costruire un tetraedro.

julio14, illuminaci!

no quello che chiede gauss è legittimo, cioè in teoria sono cose che andrebbero giustificate. Però in questo caso non è troppo compicato "spiegare" (non dico formalizzare perchè trattandosi di geometria solida è una parola grossa) che non succede niente di strano nella costruzione perchè tra le ipotesi abbiamo che il triangolo di base è acutangolo

Ullallà, manco fossi un lampione.
L'idea era ovviamente quella di Maioc92, e, senza offesa per Gauss91, mi sembra sostanzialmente più avanzata di quella dei cilindri. Prima di tutto perché sai già dove vai a parare, in secondo luogo perché quella di Maioc92 è molto più facilmente formalizzabile in geometria euclidea (quale è l'intersezione della superficie laterale di due cilindri? Quale invece quella di due sfere?) e, così ad occhio, richiede un decimo dei conti in analitica. Insomma, usando le sfere sai già cosa ti deve venir fuori, hai determinato completamente gli spigoli del tetraedro (che, in definitiva, è la richiesta dell'esercizio) e devi solo controllare che effettivamente funzioni. A entrambi mancava dire quando e perché i punti di intersezione ci sono, ma nella strada di Maioc92 questi erano due passi, in quella di Gauss91 parecchi di più (e si potrebbero avere molti più dubbi sulle capacità di un olimpionico medio di farli).
Poi boh, eh, io pontifico un po' ma non ho mezza autorità per farlo, non prendete le mie parole per oro colato .

scusate un'informazione: io le gare nazionali le ho trovate solo fino al 1989, dove posso trovare le edizioni precedenti? (x esempio questo problema da dove lo hai preso?)

gibo92 ha scritto:scusate un'informazione: io le gare nazionali le ho trovate solo fino al 1989, dove posso trovare le edizioni precedenti? (x esempio questo problema da dove lo hai preso?)

qui le trovi http://andfog.altervista.org/math/

grazie mille!