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Dimostrare che esistono infinite coppie di interi positivi (a,b) tali che:
$ a^{2}+\left ( a+1 \right )^{2}=b^{2} $

Boh, lo faccio io...allora, ricordando le formuline per le terne pitagoriche, si deve dimostrare che per infinite coppie di m;n si ha $ 2mn=m^2-n^2+1 $. Faccio il delta e ottengo $ n=-m+-\sqrt{m^2+1+m^2} $. Ora basta che n possa essere un intero positivo per infiniti m interi positivi. Che possa essere positivo non ci piove, basta quindi che sia intero. Quindi si deve avere per infiniti m;x che $ 1=x^2 -2m^2 $, che è un'equazione di Pell...

Ho provato a farlo in maniera elementare, senza grandi risultati, e poi ho deciso di piazzare la soluzione più meccanica in assoluto (che finchè il livello dei problemi resta basso funge sempre...).
Considero l'espressione, un polinomio in a e risolvo con la formula delle equazioni di secondo grado.
$ $a=\frac{2\pm 2\sqrt{2b^2-1}}{4} $
È palese che basta che il discriminante sia un quadrato, perchè tutta la frazione lo sia... fortunatamente esistono infiniti b tali che sia un quadrato come ci dice Pell (la soluzione minima è (1,1) invece della pell standard corrispondente è (3,2)) da cui concludo.

Ovviamente uno dopo essersi sporcato le mani se le lava, quindi in gara scrive: partendo da (3, 5), se (a, b) è soluzione lo è anche (3a+2b+1, 4a+3b+2)

si, anke io lo avevo risolto con pell, ma ci arrivavo con parekki brutti passaggi...