OliForum Matematico

Data una successione di infiniti numeri interi positivi strettamente crescenti. Un termine della successione è "simpatico" se è possibile scriverlo come somma di alcuni termini precedenti (anche ripetuti più volte), ad esempio nella successione 4,6,14,15,25,... si ha che 4,6 e 15 non sono simpatici, mentre 14=4+4+6 e 25=4+6+15 che sono quindi simpatici. dimostrare che in ogni successione ci sono un numero finito di termini non simpatici.

3,6,9... ne ha un bel po' di non simpatici.

julio14 ha scritto:
3,6,9... ne ha un bel po' di non simpatici.

? 6 e 9 lo sono, 3+3, 3+3+3.

Sia n il più piccolo numero della successione. Tutti i numeri multipli di n sono simpatici. Inoltre, sia k il più piccolo numero congruo a un qualsiasi x (modulo n), e allora tutti i suoi successivi numeri congrui a x sono simpatici. Siccome esistono finiti valori per x (che è chiaramente minore di n), allora i numeri non simpatici di una successione sono finiti.

Zephyrus ha scritto:Inoltre, sia k il più piccolo numero congruo a un qualsiasi x (modulo n), e allora tutti i suoi successivi numeri congrui a x sono simpatici.

Perché?

EDIT: nah, svista. Per qualche motivo pensavo che dovessero generare tutti i numeri

Haile ha scritto:

Gogo Livorno ha scritto:

julio14 ha scritto:
3,6,9... ne ha un bel po' di non simpatici.

? 6 e 9 lo sono, 3+3, 3+3+3.

Intende dire che nella successione dei multipli di 3 ci sono infiniti numeri non simpatici (tutti quelli di forma 3k+1, ad esempio). Manca qualche ipotesi nella traccia dell'esercizio, probabilmente... così com'è, non funziona.

Zephyrus ha scritto:Inoltre, sia k il più piccolo numero congruo a un qualsiasi x (modulo n), e allora tutti i suoi successivi numeri congrui a x sono simpatici.

Perché?

Haile, ma se stai considerando la successione dei multipli di 3 i numeri della forma 3k+1 non sono presenti.. quindi non puoi considerarli in questo caso..

SalvoLoki ha scritto:Haile, ma se stai considerando la successione dei multipli di 3 i numeri della forma 3k+1 non sono presenti.. quindi non puoi considerarli in questo caso..

Osd, vero; ho letto male la traccia edito

Io sarei tentato di dimostrarla per assurdo.. anche se non sso come finire la dimostrazione xD

Neghiamo la tesi: questo implica che esista almeno una successione di termini secondo il quale esistano infiniti numeri non simpatici. Ma che tipo di successione possiamo impostare?

Un'idea sarebbe usare i termini 100,201,302,403,504... che effettivamente sembra essere perfetta per il nostro caso... con l'unico problema che arrivati ai termini 9998, 10099, 11100 troviamo uno dei famigerati numeri simpatici. E in tutte le successioni di questo tipo (anche perchè non ne ho trovate di peggio xD ) prima o poi spunta un numero simpatico..

Gogo Livorno ha scritto:

julio14 ha scritto:
3,6,9... ne ha un bel po' di non simpatici.

? 6 e 9 lo sono, 3+3, 3+3+3.

Ah, si ops. Anch'io come Haile avevo capito che la successione dovesse generare tutti i numeri. My fault.

Wlog il MCD di tutti i termini della successione è 0. Sia $ a $ il primo termine della succesione; dividiamo la successione in tante sottosuccessioni quanti sono i divisori di $ a $, in modo che in ogni sottosuccessione ci siano gli elementi della successione originale che hanno il giusto $ MCD $ con $ a $. Ovviamente possiamo dimenticare le sottosuccessioni finite e dimostrare che quelle infinite generabili tranne al più pochi elementi. Prendiamo una sottosuccessione infinita (che si intende contenga comunque $ a $ come primo termine) e dividiamola per il $ MCD $ dei suoi elementi (che si vede facilmente essere proprio l'indice della sottosuccessione). Possiamo fare ciò perché la simpatia di un elemento di una successione è invariabile per moltiplicazioni e divisioni (se possibili) per interi positivi. Sia ora $ b $ ciò che rimane di $ a $ dopo la divisione, e sia $ c $ un qualsiasi altro elemento di quest'ultima successione; abbiamo dunque $ MCD(b,c)=1 $, e perciò i numeri $ b,2b,3b,\cdots , cb $ rappresentano tutte le classi di resto modulo $ c $; basta aggiungere dunque a tali numeri tutti i multipli di $ c $ per ottenere tutti i naturali maggiori o uguali a $ cb $.