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Dato n intero positivo dimostrare che:

(i) $ n|1^{5}+2^{5}+...+(2n-1)^{5} $

(ii) $ n^{2}|1^{3}+2^{3}+...+(2n-1)^{3} $

inizio con il due che è facile facile

uso la formula della sommatoria di cubi:

$ 1^3 + 2^3 + ... + (2n-1)^3 = \frac{(2n-1)^2(2n)^2}{4} $
$ (2n-1)^2 \cdot n^2 $

che è chiaramente divisibile per n².

passiamo all'uno:

leggiamo la sommatoria come

$ 1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + n^5 + (n + 1)^5 + ... + (2n-1)^5 $

noto che ai fini della divisibilità n^5 lo posso eliminare, e poi raggruppo gli addendi a due a due a questo modo: il primo con l'ultimo, il secondo con il penultimo e via così (sono pari quindi non mi avanza nulla).

dimostro che ciascuno di questi raggruppamenti di addendi è divisibile per n:

$ k^5 + (2n-k)^5 = k^5 + 32n^5 - 80n^4\cdot k + 80n^3\cdot k^2 - 40n^2 \cdot k^3 + 10n \cdot k^4 - k^5 $

che è chiaramente divisibile per n, da cui la tesi.

Spammowarrior ha scritto:$ k^5 + (n-k)^5 = k^5 + n^5 - 5n^4\cdot 4 + 10n^3\cdot k^2 - 10n^2 \cdot k^3 + 5n \cdot k^4 - k^5 $

che è chiaramente divisibile per n, da cui la tesi.

a parte che è $ k^{5}+\left ( 2n-k \right )^{5} $ e poi devi dimostrare ke è divisibile per $ n^{2} $

eh, scusa, c'è un errore nel testo allora, tu hai messo n

a parte che
$ \displaystyle 9 \nmid 1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 = 4425 $

O_O

per quanto riguarda il (2n-k) al posto di (n-k) d'accordo, ma è la stessa cosa.

XD hai ragione tu, avendo invertito l'ordine delle due dimostrazioni mi sn confuso...