OliForum Matematico

Salve a tutti, premetto che non so se sto violando il regolamento del forum, in quanto il seguente mio problema non è un esercizio olimpionico ma non è neanche un esercizio che devo svolgere per l'università o per preparare un esame; è una intuizione che avevo avuto e volevo capire se era vera o meno e nel primo caso come mai fosse vero. Il problema era il seguente:
Sia $ K $ compatto di $ \mathbb{C} \, \, (=\mathbb{R}^2) $ allora è vero che $ K $ è semplicemente connesso se e solo se $ \mathbb{C} \setminus K $ è connesso?
Intuitivamente mi sembra vero per non ne sono sicuro e soprattutto non ho trovato nessun modo per dimostrarlo. Grazie della cortesia

Hint: dimostra che è banalmente falso.

K deve essere connesso ... e di solito la faccenda si dice così: un aperto U nella sfera di Riemann (compattificazione a un punto del piano complesso) è semplicemente connesso se lui e il suo complementare sono connessi.

Questo perché tanto in analisi complessa serve lavorare con compatti che, in realtà, sono chiusure di aperti con bordo abbastanza regolare (C^1 a tratti, ad esempio).