OliForum Matematico

sia (x,y)=(a,b),siano a,b le più piccole soluzioni (naturali)di $ x^2-dy^2=1 $ Si consideri la sequenza $ y_0=0 $,$ y_1=b $,$ y_{n+1}=2ay_{n}-y_{n-1} $ per $ n\geqslant 1 $,dimostrare che $ ay^{2}+1 $ è un quadrato per ogni n.dimostra che se $ ay^{2}+1 $ è un quadrato per ogni y appartenente a N allora $ y=y_n $ per ogni $ n $

uhm.. provo a tradurre/interpretare, che cosi' non mi convince troppo

sia $ (a,b) $ una soluzione positiva di
$ x^2-dy^2=1 $ (*)
che minimizza $ a^2+b^2 $. definiamo la successione $ y_0=0, y_1=b, y_{n+1}=2ay_n-y_{n-1} $.
dimostrare che $ (a',b') $ e' una soluzione di (*) se e solo se $ b'=y_m $ per qualche $ m\ge 0 $.

e' questo quello che vuoi dire, danielf?

io sto cercando ancora di interpretare il testo..figurati..l'ho solo copiato

se il testo ufficiale dice naturali allora la più piccola soluzione è sempre (1;0)

beh, sarebbe buona norma postare problemi risolti/presi da gare/presi da post sensati su altri forum, o comunque preoccuparsi che il testo abbia senso. se proprio non si e' riusciti a fare un problema ma si e' curiosi, meglio metterci un disclaimer, tipo "non so da dove viene"/"non si se sia fattibile"/"non ho capito neanche il testo"..

Forse il testo sottintende (per "naturali") interi "positivi" piuttosto che "non negativi", escludendo così le soluzioni banali con lo 0. Può essere?

ehm.. non a caso, nella mia versione il "positivi" è messo anche in corsivo...
comunque, tenete conto che la definizione di "naturali" (e soprattutto l'uso della lettera $ \mathbb{N} $ per indicare l'insieme dei naturali) dipende da stato a stato, da cultura a cultura: spesso e volentieri i naturali sono quelli che noi chiameremmo interi positivi.