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Volevo proporvi una curiosità che ho pensato quando abbiamo studiato le relazioni d'ordine: Esiste un esempio di relazione di buon ordine che non sia di ordine naturale?
Il termine "relazione d'ordine naturale" è sul mio libro e non so quanto possa essere usato altrove, quindi spiego cosa vuol dire: Una relazione d'ordine $ \leq $ su un insieme $ S $ si dice di ordine naturale se ogni parte non vuota di $ S $ è dotata di minimo e, se superiormente limitata, anche di massimo rispetto a $ \leq $ . Quindi la relazione d'ordine usuale sui naturali è d'ordine naturale. è possibile costruirne una che sia di buon ordine ma non di ordine naturale?

Prendi i naturali e aggiungici un simbolo che chiameremo $ \infty $ (oppure $ \omega $ se vogliamo fare i fighi) maggiore di tutti gli altri. Ora, il sottoinsieme $ \mathbb N $ è superiormente limitato ma non ha max.

Caspita, non ci avevo proprio pensato!! In un insieme finito, però, una relazione di buon ordine è anche di ordine naturale, giusto? Si può provarlo per induzione..

Ogni ordine totale è sia buono che naturale, su insiemi finiti.

Si, in effetti è così, grazie!