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Siano $ $a,~b,~c$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che $ $(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right ) \ge \frac{9}{4}$ $.

Buon lavoro!

EDIT:Scusate, mi sono accorto che effettivamente la dimostrazione è completamente sbagliata...
Moltiplchiamo entrambi i membri per 4. Poi, sfruttando che AM=>QM, abbiamo che
$ (a+b)^2/4 \geq ab. $ Essendo ciò valido anche per bc e ac, possiamo dunque sostituire in modo che la diseguaglianza diventi $ \displaystyle (ab+bc+ac) (\frac{1} {ab}+\frac{1} {bc}+\frac{1}{ac}) \geq 9 $ Ora, ponendo$ ab=k, bc=y, ac=z $ e facendo il denominatore comune dentro la parentesi abbiamo $ \displaystyle(k+y+z)(\frac{ky+kz+yz} {kyz})\geq 9. $ Sfruttando ancora che $ (k+y)/2\geq ky $ e ponendo $ ky=n^2 kz=m^2, yz=o^2 $, si ha $ \displaystyle(m+n+o)(\frac{m^2+n^2+o^2} {mno})\geq 9 $ Dividendo entrambi i membri per nove, si ha $ \displaystyle(\frac {m+n+o} {3})(\frac{m^2+n^2+o^2} {3mno})\geq 1 $ e sfruttando QM=>GM, AM=>GM, si può sostituire (m+n+o)/3 con $ \sqrt[3]{mno} $ e $ $\frac {m^2+n^2+o^2} {3} $ con $ \sqrt [3] {(mno)^2} $
Da ciò si verifica la diseguaglianza banalmente.

Zephyrus ha scritto: possiamo dunque sostituire in modo che la diseguaglianza diventi $ \displaystyle (ab+bc+ac) (\frac{1} {ab}+\frac{1} {bc}+\frac{1}{ac}) \geq 9 $

se fosse vero questo potresti concludere subito con C.S., ma mi sa che ti sei perso qualcosa

Comunque odio le disuguaglianze iraniane, sono una cosa improponibile...su questa ci ho sbattuto la testa per 3 ore e ho trovato solo strade fallimentari
Se qualcuno ha una soluzione, bella o brutta, sono curioso di vederla

non che sia una soluzione istruttiva o tantomeno elegante, alla fine è il solito barbaro "moltiplicare il moltiplicabile e semplificare il semplificabile" con qualche trucchetto al fondo, ma tal'è, l'avete chiesto voi, dopotutto...

la tesi è equivalente a $ 4 \sum a^5b+\sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c+\sum a^4b^2+3\sum a^3b^3 $
ora $ \sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c $ per schur (basta raccogliere $ abc $ e poi è schur classica)
e quel che resta è equivalente a $ \sum (ab(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+3ab(a^2-b^2)^2) \geq 0 $

Fabio91 ha scritto:non che sia una soluzione istruttiva o tantomeno elegante, alla fine è il solito barbaro "moltiplicare il moltiplicabile e semplificare il semplificabile" con qualche trucchetto al fondo, ma tal'è, l'avete chiesto voi, dopotutto...

la tesi è equivalente a $ 4 \sum a^5b+\sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c+\sum a^4b^2+3\sum a^3b^3 $
ora $ \sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c $ per schur (basta raccogliere $ abc $ e poi è schur classica)
e quel che resta è equivalente a $ \sum (ab(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+3ab(a^2-b^2)^2) \geq 0 $

viene davvero cosi bella alla fine??
io non ho avuto il cuore di fare tutti i conti, ho provato ad usare qualche disuguaglianza che semplificasse quella iniziale e rendesse più semplici i calcoli, ma veniva sempre e comunque troppo debole per reggere.
Comunque grazie, ora posso andare a dormire tranquillo