OliForum Matematico

Ciao,

mi ritrovo a dovere usare molti criteri di convergenza di serie numeriche che non vengono spiegati nella maggior parte dei corsi base di analisi.

Si trovano su internet gli enunciati, ma mancano le dimostrazioni.

Qualcuno saprebbe indicarmi un libro completo sui criteri di convergenza, che abbia tutte le dimostrazioni, o almeno suggerimenti su come ricavarle?

Per esempio ora mi sono imbattuto nel criterio di Raabe http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di ... o_di_Raabe , ma manca la dimostrazione della convergenza per l>1 .

Vi ringrazio!

Per la convergenza ti riconduci a una serie geometrica. EDIT: non geometrica ma armonica.
Vedi anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

P.S. Evita wikipedia italiana.

it.wikipedia ha scritto:La serie

$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $

converge se e solo se converge la serie

$ $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} $

Santo iddio, ma perché gli italioti non la smettono di pasticciare 'sta wikipedia? Non è una pizza napoletana...

Nell'articolo completo http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy hanno anche fatto lo sforzo di dire che c'è qualche ipotesi, comunque.

Ok, ma non vedo la dimostrazione, me la sapreste dare al volo?

Sì. In realtà avevo visto male, non usi una serie geometrica, ma la serie armonica (generalizzata) $ $\sum \frac 1 {n^\alpha} $, che converge notoriamente sse $ $\alpha>1 $.

Se il tuo limite è $ $\ell>1 $, allora esiste un $ $\alpha>1 $ tale che, per ogni $ $n $ abbastanza grande, $ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant 1-\frac{\alpha}{n} $. Per Bernoulli (generalizzato),

$ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \left(1-\frac 1 n\right)^{\alpha}=\frac{(n-1)^{\alpha}}{n^{\alpha}} $.

Quindi, per un opportuno $ $k $ e per ogni $ $n\geqslant k $, vale $ $a_n \leqslant \frac{a_k (k-1)^\alpha}{(n-1)^{\alpha}} $, ed ecco la tua serie armonica.

Aha, carina, bastava usare bernoulli Grazie mille!

Tra parentesi, si può dimostrare bernoulli per esponenti reali qualsiasi senza usare le derivate? Immagino di sì... tipo la dimostriamo per r razionale e al limite (Q denso in R, la funzione è continua in r) vale anche per gli irrazionali...