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Prendendo spunto da questa equazione funzionale che ho letto male, "trovate tutte" le funzioni $ f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che

$ f(f(x)^2 + f(y)) = xf(x) + f(y). $

ordunque, ponendo x=0 (e chiamando f(0)=k) ottengo che $ f(f(x)+k^2)=f(x) $.
Ora ponendo nel testo iniziale $ x\rightarrow f(x)+k^2 $ ottengo che $ f(f(x)^2+f(y))=f(x)(f(x)+k^2)+f(y) $. Sottraendo membro a membro ho che $ f(x)(f(x)+k^2-x)=0 $ per ogni x.
Quindi per ogni x f(x)=0 o f(x)=x+a.
Si vede facilmente dall'equazione iniziale (sostituendo x=h tale che f(h)=0, che esiste sempre) che se f(x)=x+a per almeno un valore di x diverso da -a allora anche f(x+a)=x+2a, quindi a=0.
Per cui $ f(x)=0 $ o $ f(x)=x $ per ogni x appartenente a $ \mathbb R $.
A questo punto sorgono i problemi: infatti sempre dall'equazione di partenza si deduce che, detto A il sottoinsieme di R che contiene tutti gli elementi $ r $ tali che $ f(r)=r $, se $ a,b\in A $ allora $ a^2,b^2,a^2+b,a+b^2\in A $. Quindi bisogna trovare tutti i sottoinsiemi di R chiusi rispetto a queste operazioni, e io non lo so fare.
Però un esempio banale di funzione che va bene è
-$ f(x)=x $ se x appartiene a $ \mathbb N $
-$ f(x)=0 $ se x appartiene a $ \mathbb R/\mathbb N $

È per questo che ho messo "trovare tutte" fra virgolette. Le funzioni che sono soluzione sono tutte quelle della forma

$ f(x) = x $ per $ x \in B $

e

$ f(x) = 0 $ per $ x \notin B $

dove $ B \subset \mathbb{R} $ è un sottoinsieme tale che $ 0 \in B $ e $ x^2 + y \in B $ per ogni $ x, y \in B $.

Non penso che esista una caratterizzazione sensata di questi sottoinsiemi. Ad esempio sono tali tutti i sottoanelli di R, in particolare tutti i sottocampi, oppure i reali non negativi. Inoltre le intersezioni di insiemi con questa proprietà hanno ancora la stessa proprietà. Insomma, non credo che esista una classificazione di questi.

Nonno Bassotto ha scritto: Non penso che esista una caratterizzazione sensata di questi sottoinsiemi. Ad esempio sono tali tutti i sottoanelli di R, in particolare tutti i sottocampi, oppure i reali non negativi. Inoltre le intersezioni di insiemi con questa proprietà hanno ancora la stessa proprietà. Insomma, non credo che esista una classificazione di questi.

ok, grazie per la precisazione, io nella mia ignoranza me ne sto zitto non conoscendo nulla di anelli e campi
Comunque sapendo questo sembra che il problema possa considerarsi risolto