OliForum Matematico

Problema che ho affrontato in una gara che ho fatto in Toscana...

Dimostrare che l'equazione ax^2+bx+c=0 non ammette radici razionali se a,b,c sono numeri interi dispari.

Vi dico la mia dimostrazione:

Devo dimostrare che b^2-4ac non è mai un quadrato perfetto.

So che a,b,c sono dispari, quindi li riscrivo in questa forma:
a=2A+1
b=2B+1
c=2C+1 con A,B,C interi.

e sostituisco nel delta:

4B^2+4B-16AC-8A-8C-3

Siccome questo non è il quadrato di un trinomio, avrei dimostrato....

So che non è una dimostrazione bella nè a livello olimpico Però sapete dirmi se è quantomeno corretta? Se no, dove è l'errore? Come si potrebbe dimostrare?

Grazie

Luca

$ A^2+B^2+C^2+A+B+C $ non è il quadrato di un trinomio, eppure per A=B=C=-1 è un quadrato, come anche per A=B=1 e C=0, oppure per A=B=1, C=-1.
Insomma, non basta dire che un'espressione non è il quadrato di qualcosa come polinomio, per dire che non assume mai valori che sono quadrati.

Salvo sfondoni postmezzanotte:

- Se fosse stato il quadrato di un trinomio le soluzioni sarebbero state sempre razionali (per qualsiasi valore di a, b, e c era un quadrato)

- Il fatto che non lo sia implica che esista ALMENO una terna di valori di a, di b e di c per i quali il delta non è un quadrato perfetto.

Ma chi ti dice che sostituendo valori ad a, b e c non ti salti fuori un numero che è un quadrato perfetto?

Ti faccio un esempio:

--> x^2+2x+1

Qualsiasi valore tu sostituisca alla x salta fuori un quadrato, in quanto è il quadrato di un binomio.

--> x^2+x+3

Ha delta=0 dunque è inscomponibile, dunque non è certo il quadrato di un binomio, ma ciò non significa che non assuma mai un valore quadrato perfetto; se sostituisci x=2 ottieni 4+2+3=9.

Ti torna?


(preceduto da EvaristeG )

4B^2+4B-16AC-8A-8C-3
4b(b+1)-16AC-8A-8C-3
guardala mod 8
uno tra b e b+1 è pari
quindi l'espressione è pari a -3=5 mod 8 che neanche a dirlo non è un residuo quadratico mod 8.

I 2 modi più semplici che hai per dimostrarlo sono sostituire x=p/q e analizzare mod 2 oppure analizzare il delta mod 8

Io proverei osservandola mod 8

edit:opps... preceduto da Maioc92

Io proverei a scrivere una soluzione con le parole "pari" e "dispari". Ad esempio:
Supponiamo che ci sia una soluzione razionale $ p/q $ (frazione ai minimi termini), allora
$ ap^2+bpq+cq^2=0 $
Se a,b,c,p,q sono tutti dispari, allora la somma al primo membro è dispari e non può fare zero, quindi uno tra p e q è pari (non entrambi, perché la frazione è ai minimi termini). Diciamo che p è pari.
Allora $ ap^2+bpq $ è pari, mentre $ cq^2 $ è dispari, quindi anche in questo caso la somma non può fare 0, che è pari.