OliForum Matematico

questo problema è preso dalla disfida online di venerdi scorso, e (anche se non ci ho pensato più di tanto) non sono ancora riuscito a risolverlo:

Sia A un sottoinsieme finito di R tale che:
-esiste $ x\in A $ tale che $ 0<x<\frac{1}{2010} $
-se $ x,y\in A $ allora $ xy $ è diverso da 1 (x,y non necessariamente distinti)
-se $ x,y\in A $ allora $ \displaystyle\frac{x+y}{1-xy}\in A $ (come prima x,y non necessariamente distinti)

Determinare quanto vale al minimo la cardinalità di A.

Do un suggerimento:

l'uomo che disfidava delle disfide ha scritto:dare un interpretazione trigonometrica. In fondo tan(a+b)=(tan a+tan b)/(1-tan a tan b), quindi conviene pensare agli elementi dell'insieme come alle tangenti degli angoli di un altro insieme.

forse ho inteso male...se prendo A={1/2011;0) ho che 1/2011 è compreso tra 0 e 1/2010 e poi ho che $ \frac{1/2011+0}{1-(1/2011*0)}=1/2011 $ che ovviamente appartiene ad A..quindi la cardinalità è 2?
scusate se ho detto scemate...

eh, ma x ed y non sono necessariamente distinti...
se prendi x=1/2011 e y=1/2011 ottieni un numero sicuramente diverso da 1/2011 e da 0...
più in generale la cardinalità è sempre maggiore di due perchè non esiste x reale tale che quella relazione manda f(x;x) in x (o meglio, esiste ma è 0)

rispondo un po' in ritardo comunque grazie aner per l'aiuto!
Almeno non mi mangio le mani per non averlo risolto in gara perchè purtroppo non conoscevo la formula per la tangente di una somma di angoli, quindi chiaramente non ci avrei pensato nemmeno tra un milione di anni

Maioc92 ha scritto:non ci avrei pensato nemmeno tra un milione di anni

Beh, in un milione di anni avresti avuto il tempo di sviluppare da solo la trigonometria!