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Sia $ C' $ una circonferenza di raggio $ r $, sia $ C'' $ una circonferenza con centro su $ C' $ e raggio $ \frac{r}{2} $ e sia $ A $ un'intersezione tra $ C' $ e $ C'' $.
Sia $ C''' $ una circonferenza con centro in $ A $ e raggio $ \frac{r}{4} $ e siano $ B $ e $ D $ le sue intersezioni rispettivamente con $ C'' $ e $ C' $.
i) determinare l'area formata dall'intersezione delle tre circonferenze
ii)determinare l'area del triangolo $ ABD $

amatrix92 ha scritto: e siano $ B $ e $ D $ le sue intersezioni rispettivamente con $ C'' $ e $ C' $.

Quali intersezioni, visto che ce ne sono 2 per ogni circonferenza?

Quelle interna all'altra circonferenza, cioè ad esempio l' intersezione tra $ C'' $ e $ C''' $ interna a $ C' $. Si capiva dalla domanda in cui dicevo trovare l'area dell'intersezone tra le tre circonferenze.

ma tu la sai la soluzione??

cmq io ho una mezza idea di come trovare l'area del triangolo (anche se il mio metodo, che non so neppure se è giusto, è abbastanza lungo e sopratutto suicidico... )

per l'area dell'intersezione dei tre cerchi so approssimativamente quanto vale...

domanda: come si fanno a mettere i disegni qua??
p.s. prima che vi scrivo la mia soluzione (che non sono sicura della sua validità) dovrete aspettare un bel po'!!

Indico con C il centro di C' , con E quello di C" e pongo :
<ACD=2a,<AEB=2b,<DCE=2c
Sarà allora: <DEA=1/2*<ACD=a,<DAE=1/2*<DCE=c,<BAE=90°-b
Per semplicità di scrittura pongo inoltre r/4=s in modo che i raggi
di C',C",C"' diventano 4s,2s,s rispettivamente.

Dal triangolo isoscele ACD ho:
$ $\sin (a)=\frac{AD/2}{AC}=\frac{s/2}{4s}=\frac{1}{8},\cos (a) =\frac{3}{8}\sqrt 7$ $

Dal triangolo isoscele AEB ho:
$ $\sin (b)=\frac{AB/2}{AE}=\frac{s/2}{2s}=\frac{1}{4},\cos (b) =\frac{1}{4}\sqrt{15}$ $

Dal triangolo isoscele ACE ho:
$ $\sin (a+c)=\frac{AE/2}{AC}=\frac{s}{4s}=\frac{1}{4}=\sin (b)$ $

Poiché si lavora con angoli acuti ,dall'ultima eguaglianza segue che b=a+c

Ora possiamo calcolare l'area di ABD:
$ $S(ABD)=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin{(\pi/2-b+c)}=\frac{1}{2}s^2 \cos (a)=\frac{3}{16}s^2\sqrt 7$ $

Per determinare l'area della parte di piano limitata dagli archi AB,BD,DA occorre osservare
che essa è la somma del triangolo ABD e di 3 segmenti circolari e che ognuno di
questi ultimi è la differenza tra un settore circolare ed un triangolo.Nel nostro caso,detta S
l'area da calcolare,S(MNP) l'area del triangolo di vertici M,N,P ed S(sett(XYZ)) l'area del
settore circolare di arco XZ e centro Y, si ha:

S=[S(BAD)+[S(sett(ACD))-S(ACD)]+[S(sett(AEB))-S(AEB)]+[S(sett(BAD)-S(BAD)]
Ovvero:
S=[S(sett(ACD))-S(ACD)]+[S(sett(AEB))-S(AEB)]+S(sett(BAD))
Oppure:
$ $S=[16s^2\cdot a-8s^2\cdot \sin{2a}]+[4s^2\cdot b-2s^2\cdot \sin{2b} ]+[\frac{1}{2}s^2\cdot ( \frac{\pi}{2}-a)]$ $
Adesso non resta che fare le sostituzioni:
$ $s=\frac{r}{4},a=\arcsin\frac{1}{8},b=\arcsin\frac{1}{4}$ $