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In un problema che stavo facendo è saltato fuori un

$ ~ \varphi(n+1) + \varphi(n+2) < n $

(dove $ ~ \varphi $ è la solita Totiente di Eulero)

che vale per $ ~ n = 103, 104, 163, 164, 188, 193, 194 \dots $

Vale per infiniti n?

(Per ora non sono riuscito a dare una risposta.)

Sì, puoi usare l'abbastanza ovvio $ \displaystyle~\varphi(ab)\le\varphi(a)b $.
Ora poni $ \displaystyle~n=3\cdot 5\cdot 7 m-1 $, con $ \displaystyle~m $ positivo e dispari.
In tal modo hai $ \displaystyle~\varphi(n+1)\le\varphi(3\cdot 5\cdot 7)m=48m $ per la disuguaglianza sopra, inoltre $ \displaystyle~n+2 $ è pari, quindi $ \displaystyle~\varphi(n+2)=\varphi(2\cdot\frac{3\cdot 5\cdot 7m+1}{2})\le\varphi(2)\cdot\frac{3\cdot 5\cdot 7m+1}{2}=\frac{3\cdot 5\cdot 7m+1}{2} $
Ora è facile verificare che $ \displaystyle~48m+\frac{3\cdot 5\cdot 7m+1}{2}<3\cdot 5\cdot 7m-1 $.
La teoria che ci sta dietro: il fatto che $ \displaystyle~\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{p-1}{p}=0 $, quindi per ogni $ \displaystyle~\epsilon>0 $ esistono infiniti $ \displaystyle~n:\varphi(n)<\epsilon n $.
Volendo si mostra facilmente che, fissato $ \displaystyle~k>0 $, esistono infiniti n tali che
$ \displaystyle~\varphi(n+1)+\varphi(n+2)+\ldots+\varphi(n+k)<n $

Ok! Grazie

[quote="kn"]
In tal modo hai $ \displaystyle~\varphi(n+1)\le\varphi(3\cdot 5\cdot 7)m=48m $ per la disuguaglianza sopra

non ho capito..