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7p+3^p-4=x^2
Inviato: 28 apr 2010, 19:46
da ale.b
Dimostrare che, se p è un numero primo, $ 7p+3^p-4 $ non è mai un quadrato perfetto
Inviato: 29 apr 2010, 16:04
da gismondo
utilizzando il piccolo teorema di fermat e ricordandoci dei residui quadratici modulo 3 ottengo: $ 0+3-1=0,1 $ che è assurdo; inoltre p=3 abbiamo 44.
sbaglio?
Inviato: 29 apr 2010, 16:23
da ale.b
perchè dovrebbe essere $ 7p\equiv0 \mod 3 $?
Inviato: 29 apr 2010, 16:24
da ma_go
rispetto a che modulo applichi il teorema di fermat?
Inviato: 29 apr 2010, 16:25
da gismondo
perchè sono scemo
sorry!
Inviato: 29 apr 2010, 16:36
da gismondo
vediamo..allora modulo p:
$ 0+3-4=x^2 $ per il piccolo teorema di fermat...
dalla legge di reciprocità quadratica $ x^2=-1 $ ha soluzioni se e solo se p=4k+1...quindi
$ 7(4k+1)+3^{4k+1}-4=x^2 $
quindi modulo 4:$ 3(1)+3^1-0=0,1 $ che sembra assurdo
a-risbaglio?
Inviato: 29 apr 2010, 16:50
da ale.b
che cosa dice la legge di reciprocità quadratica?
Inviato: 29 apr 2010, 16:58
da gismondo
Inviato: 29 apr 2010, 17:37
da ma_go
stavolta mi pare proprio che funzioni
Inviato: 29 apr 2010, 18:58
da pic88
Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.
La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.
Inviato: 29 apr 2010, 22:36
da Gogo Livorno
pic88 ha scritto:Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.
La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.
Tradotto in soluzione?
Inviato: 29 apr 2010, 22:40
da pic88
Tradotto in soluzione hai
$ x^2\equiv -1 \pmod p $
quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.
Inviato: 29 apr 2010, 22:46
da Gogo Livorno
pic88 ha scritto:Tradotto in soluzione hai
$ x^2\equiv -1 \pmod p $
quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.
Che divide p-1 lo dovrei sapere di mio o si deduce?
E da qui?
EDIT: mi sono andato un po' a cercare le proprietà dell'ordine
Ma... cosa intende gismondo quando mette 0,1 nelle congruenze?
Inviato: 30 apr 2010, 15:36
da pic88
Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.
In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.
Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.
Inviato: 30 apr 2010, 19:27
da danielf
pic88 ha scritto:Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.
In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.
Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.
sinceramente non ho capito..
perchè l'rodine di x dovrebbe essere 4 e perchè si cade nell'assurdo?