OliForum Matematico

Alur... volevo chiedere se qualcuno aveva una dimostrazione elegante di questo fatto (alla fin fine andrebbe bene anche non elegante... ):
Dati m,n interi positivi; se n numeri interi hanno somma m e minimizzano la somma dei quadrati allora presi 2 a caso differiscono al massimo di 1.
Minimizzare la somma dei quadrati vuol dire che tra tutte le n-uple di interi con somma m nessuna ha somma dei rispettivi quadrati minore.

$ \displaystyle \frac{a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{n}^2}{n} \geq \frac{(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})^2}{n^2} $

l'uguaglianza c'è solo quando gli a sono tutti uguali tra loro (QM-AM)

semplifico una n e ho a destra una costante:
$ \displaystyle \frac{m^2}{n} $

il lhs è sempre maggiore ed è uguale se sono tutti uguali, quindi è il minimo in questo caso.
quindi presi due a caso avranno sempre somma 0.

ok, visto che mi sembra facilino e ho dimostrato un risultato molto più forte, ho sbagliato da qualche parte missà :S

Hai dimenticato che sono interi.

Va beh ma quella cosa vale anche se ce n'e' qualcuno di negativo, no?

Quale cosa?

ragioniamo in R.sappiamo,per la disuguaglianza delle medie,che la somma dei quadrati dei numeri aventi somma fissata è minima quando sono uguali (scaturisce da Q>o uguale ad A).In N,si dovrà approssimare all'unità più vicina,quindi la differenza massima sarà 1(questa è la soluzione poco elegante)

La disuguaglianza...
si puo' assumere m>0, quindi vale che $ (|a_1|+...+|a_n|)^2\geq m^2 $

EDIT: si, ok, ora ho capito cosa intendevi.

No questa è la soluzione poco matematica.
EDIT: @Pic88 qua c'era scritta un'altra cosa, ma se tu hai capito cosa intendevo (o intendeva) meglio così xD

giusto

ok, allora prendiamo due numeri a caso, e dimostriamo che se hanno differenza maggiore di uno possiamo sostituirli con due numeri con differenza minore o uguale a uno che diminuiscono la somma dei quadrati (di conseguenza, se per assurdo due degli addendi differissero per più di uno la somma dei quadrati non sarebbe minima)

a+b devono avere somma fissa = k

prendiamo wlog b>=a
$ a = k - b $
$ f(x)= b^2 + k^2 + b^2 - 2kb $

f(x) è una parabola, che quindi è minima nel vertice, e ha come minimo intero l'ascissa intera più vicina al vertice:
$ x_{v}= - \frac {-2k}{4} $

se k pari allora b=k/2 e a = k/2
se k dispari allora b= (k+1)/2 e a=(k-1)/2

quindi se sostituisco ai due addendi ipotizzati i due addendi che ho trovato così, la somma non cambia e la somma dei quadrati diminuisce.

edit: sbagliato una cosina.
ero anche pronto a partire con derivate e studi di funzioni ma ho preferito rimanere sull'elementare

Piu' semplicemente, $ a^2+(a+n)^2 > (a+1)^2 + (a+n-1)^2 $, e usare $ a+1, a+n-1 $ riduce la distanza quando $ n>1 $.

Ad essere rigorosi tu hai mostrato che una configurazione con una distanza >1 non e' minima, andrebbe aggiunto che il minimo esiste per concludere che, nella configurazione minima, devono avere tutti ditanza al piu' 1.

beh, è abbastanza elementare, basta dire che la somma dei quadrati è un naturale, e non esistono successioni infinitamente decrescenti sui naturali.

no, beh, a dire il vero no:
io ho dimostrato che se per assurdo due numeri hanno distanza >1 allora la configurazione non è minima, che è un assurdo (è minima per ipotesi)

Si, ma fa perdere punti. Mica per altro lo dico!

ho editato il messaggio precedente, la mia dimostrazione era leggermente diversa da come l'hai intesa, era per assurdo

Spammowarrior ha scritto:ho editato il messaggio precedente, la mia dimostrazione era leggermente diversa da come l'hai intesa, era per assurdo

Eh, ma partiva da "sia a_1,...,a_n" una configurazione minima. Va prima detto che esiste. So che e' elementare ma siamo pur sempre nel glossario.

Uhm... si questa era la soluzione "non elegante", ma mi accontento, grazie :)