OliForum Matematico

Spero non sia già stato postato, provando a cercare non ho trovato nulla

Trovare tutte le funzioni da Z in Z tali che:

3f(x) - 2f(f(x)) = x

per ogni x appartenente a Z.

A prima vista y=x

Non vorrei sparare una cavolata, ma penso sia anche l'unica, perchè la funzione deve essere polinomiale di grado 1 e senza termine noto (altrimenti, se c'è il termine noto, nel secondo termine dell'equazione, essendo intero, diventerà al quadrato e non soddisferà l'equazione). Con queste condizioni ci riduciamo, svolgendo $ 3kx-2k^2x=x $, che è soddisfatta per k=1;1/2, ma non può essere quest'ultimo essendo la funzione Z--->Z.
Penso di non essermi spiegato benissimo, quindi sono pronto a rispondere a qualche domanda

Edit: ovviamente la funzione non può essere costante!

e chi ti dice che la funzione sia polinomiale?

Maioc92 ha scritto:e chi ti dice che la funzione sia polinomiale?

Ammetto che sono andato un po' a intuito, perchè mi sembrava non ce ne fossero altre...di algebra sono ancora ad un livello medio-basso, dovrei iniziare a padroneggiarla meglio se voglio avere una cultura matematica completa

infatti non volevo certo fartene una colpa, è un errore comune quando si vede per la prima volta un'equazione funzionale (io stesso ci sono cascato).
Comunque diciamo che a intuito non puoi dire nulla in una gara, e che devi cercare un altro modo per dimostrare che l'unica funzione che soddisfa è l'identità (il che è vero).
Se vuoi un esempio di equazione funzionale con una soluzione "strana" ti linko questa che nonno bassotto ha postato qualche giorno fa:
viewtopic.php?t=14785
Se ti interessa una dispensa sulle equazioni funzionali la trovi nel glossario in "Libri e dispense su internet".
Se invece vuoi un suggerimento per questo problema in particolare ti metto in piccolo uno spunto da cui poter partire:
prova a ricavare f^n(x) in relazione ad f(x) e ad x, dove f^n(x) è la funzione applicata n volte (ad esempio f^3(x)=f(f(f(x)))

Nota stilistica: $ y=x $ non è una funzione, è una curva, di solito... la funzione è $ f(x)=x $ (e poi $ y=f(x) $ è la curva grafico di tale funzione). Ovviamente questa è solo una faccenda di notazione...

Io avevo un'idea, non so se totalmente imbecille: confutatemela

Sia f(x)=y e f(f(x))=z con y e z interi.

Avremo la diofantea:

3y-2z=x

Ha sempre soluzioni intere in quanto MCD (3,2)=1, ed esse saranno tutte e solo (risolvendo la diofantea coi metodi classici) della forma:

y=x+2k
z=x+3k

Dunque f(x)=x+2k e f(f(x))=x+3k.

Ma f(f(x)) è anche uguale a (x+2k)+2k=x+4k.

Quindi x+3k=x+4k, che implica k=0.

Verifichiamo infatti che f(x)=x soddisfa l'equazione di partenza.

allwrong?

Ciao, la soluzione è bella e chiara, solo che non so come si risolvono le Diofantee. Dove posso trovare una guida, dei post o delle dispense per determinare le soluzione e sapere se sono uniche?


Grazie

gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

Maioc92 ha scritto:gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

Gogo Livorno ha scritto:

Maioc92 ha scritto:gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

se veramente dimostrassi questo andrebbe bene, ma sbagli quando dici che f(x+2k)=x+4k. Infatti se k è diverso da 0 allora x+2k è diverso da x e il tuo k a priori potrebbe variare. In pratica è il cane che si morde la coda, perchè per dire quello che dici dovresti già sapere che k è 0

Maioc92 ha scritto:

Gogo Livorno ha scritto:

Maioc92 ha scritto:gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

se veramente dimostrassi questo andrebbe bene, ma sbagli quando dici che f(x+2k)=x+4k. Infatti se k è diverso da 0 allora x+2k è diverso da x e il tuo k a priori potrebbe variare. In pratica è il cane che si morde la coda, perchè per dire quello che dici dovresti già sapere che k è 0

Scusa davvero se sono ritardato, però vorrei capire

Se la funzione non fosse mista, andrebbe bene il ragionamento?

So che sono arrivato in ritardo,ma per non aprire un altro topic.........

Dunque,io penso che per la soluzione non ci sia bisogno di ricorrere alla diofantea,bastano alcune manipolazioni algebriche:


$ 3f(x)-2f(f(x)) = x $ può essere scritto nella forma $ 2[f(x)-f(f(x))]=x-f(x) $
$ x-2[f(x)-f(f(x))] = f(x) $

Ora la mia idea è quella di sfruttare la simmetria:

$ f(x) -> x $ e $ x -> f(x) $

cosi' otteniamo:

$ f(x) -2x + 2f(x) = x $ da cui:

$ 3f(x) = 3x x = f(x) $
Perciò anche rimettendo le cose a posto avremo $ f(x) = x $ che è soluzione.

non mi pare che dimostri che quella sia l'unica