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Determinare le coppie di numeri primi $ p,q $ tali che
$ p^2-2q^2=1 $.

NB: non tirate fuori Pell e menate, è un esercizio facile (l'ho proposto io!!)

Ci provo...
Se $ p,q \neq 3 $ allora guardo la relazione mod 3 e ottengo $ 1-2 \equiv 1 \pmod{3} $, assurdo. Quindi, se $ p=3 $ trovo che $ q=2 $, mentre se $ q=3 $ $ p=\sqrt{19} $ che ovviamente non va bene.

Quindi l'unica soluzione è $ (3,2) $

$ \displaystyle \frac {(p-1)(p+1)}{2}=q^2 $ ma $ \displaystyle q $ è primo ergo...

Mod 4 trovo che 2|q, quindi q=2, sostituendo trovo p=3, da cui (3,2).

Il caro vecchio mod 6...

ndp15 ha scritto:$ [tex] $\ergo...

ergo cosa? se ti vuoi prendere la gloria della bella idea, ti prendi anche l'onere di scrivere la soluzione, per quanto noiosa e banale possa essere.

ngshya ha scritto:Il caro vecchio mod 6...

Idem per te!

EvaristeG ha scritto:Determinare le coppie di numeri primi $ p,q $ tali che
$ p^2-2q^2=1 $.

Sia $ $w$ $ un numero primo maggiore di 6, allora deve essere $ $w \equiv \pm 1 \pmod 6$ $.

Ora, se $ $p>6$ $ e $ $q>6$ $, allora $ $p^2-2q^2 \equiv 1-2 \equiv -1 \neq 1 \pmod 6$ $ assurdo.

Quindi almeno uno fra $ $p$ $ e $ $q$ $ deve essere $ $<6$ $.

I numeri primi minori di 6 sono: 2, 3, 5. Sostituendo questi valori prima in $ $p$ $ e poi in $ $q$ $ trovo che l'unica soluzione è $ $(3,2)$ $.

5 non è congruo a -1 mod 6? ;P

EvaristeG ha scritto:

ndp15 ha scritto:ergo...

ergo cosa? se ti vuoi prendere la gloria della bella idea, ti prendi anche l'onere di scrivere la soluzione, per quanto noiosa e banale possa essere.

Non che mi voglia prendere la gloria, comunque siamo giunti ad avere il quadrato di un primo uguale al prodotto di due fattori. Si deve verificare quindi uno di questi casi: $ 1\cdot q^2 $ o $ q \cdot q $ o $ q^2\cdot 1 $. Impongo $ LHS $ uguale a uno di questi casi e noto che l'unico che rispetta le ipotesi è: $ \displaystyle (p-1)= \frac {p+1}{2}=q $ da cui $ p=3 $ e $ q=2 $.

anche $ ~\mod{4} $ che mostra che si ha soluzione solo se q=2