somma di cubi
Inviato: 04 mag 2010, 14:41
Propongo un esercizio semplice:
trovare tutte le coppie di numeri interi x e y tali che $ x^3+y^3=91 $
trovare tutte le coppie di numeri interi x e y tali che $ x^3+y^3=91 $
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somma di cubi
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Inviato: 04 mag 2010, 15:28
banalmente scompongo il cubo e vado giù di brutto cn un sacco di sistemi
Inviato: 04 mag 2010, 16:32
Esatto è questo il metodo risolutivo migliore 
Inviato: 04 mag 2010, 16:33
Il difficile dell'esercizio è ricordarsi che 91 non è primo! 
Inviato: 04 mag 2010, 16:35
All'inizio non mi veniva proprio per questo!ndp15 ha scritto:Il difficile dell'esercizio è ricordarsi che 91 non è primo!
Inviato: 04 mag 2010, 20:15
$ a^2-ab+b^2 $ è un falso quadrato, quindi sempre positivo, e ciò dimezza il numero di sistemi
$ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab $ questo invece diminuisce il tempo di calcolo di ogni sistema
$ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab $ questo invece diminuisce il tempo di calcolo di ogni sistema
Inviato: 08 mag 2010, 17:01
io ne ho trovata alcune spero siano giuste.. 
cmq scompongo
$ x^3+y^3 $ in $ (x+y)(x^2+y^2-xy) $
ottenendo:
$ (x+y)(x^2+y^2-xy)=91 $
e divido entrambi i membri per (x+y):
$ (x^2+y^2-xy)=91/(x+y) $
e aggiungo ad entrambi i membri 3xy:
$ (x^2+y^2+2xy)=91/(x+y) +3xy $
$ (x+y)^2=91/(x+y) +3xy $
dal momento che x e y sono numeri interi reali è logico pensare (almeno per me..) che 91 sia divisibile per (x+y), quindi (x+y) puo valere +-1,+-13,+-7
per x+y=1 otteniamo:
$ 1=91+3xy $
$ -90=3xy $
$ -30=xy $
tenendo presente che x+y=1 e che -30=xy si deduce che le soluzioni siano (6,-5), (-5,6)
per x+y=-1:
$ 1=-91+3xy $
$ 92=3xy $
$ 92/3=xy $
che è impossibile perchè x e y sono interi e quindi lo sarà anche il loro prodotto..
la stessa cosa succede per x+y=-7 e x+y=-13
per x+y=7:
$ 49=13+3xy $
$ 36=3xy $
$ 12=xy $
sapendo che x+y=7 e xy=12 faccio un sistema e ottengo le soluzioni (4,3), (3,4)
per x+y=13
$ 169=7+3xy $
$ 162=3xy $
$ 54=xy $
sapendo che x+y=13 e xy=54 faccio un sistema e ottengo $ y^2-13y+54=0 $ che avendo un delta negativo è impossibile..
quindi le coppie sono (4,3), (3,4), (6,-5), (-5,6)
cmq scompongo
$ x^3+y^3 $ in $ (x+y)(x^2+y^2-xy) $
ottenendo:
$ (x+y)(x^2+y^2-xy)=91 $
e divido entrambi i membri per (x+y):
$ (x^2+y^2-xy)=91/(x+y) $
e aggiungo ad entrambi i membri 3xy:
$ (x^2+y^2+2xy)=91/(x+y) +3xy $
$ (x+y)^2=91/(x+y) +3xy $
dal momento che x e y sono numeri interi reali è logico pensare (almeno per me..) che 91 sia divisibile per (x+y), quindi (x+y) puo valere +-1,+-13,+-7
per x+y=1 otteniamo:
$ 1=91+3xy $
$ -90=3xy $
$ -30=xy $
tenendo presente che x+y=1 e che -30=xy si deduce che le soluzioni siano (6,-5), (-5,6)
per x+y=-1:
$ 1=-91+3xy $
$ 92=3xy $
$ 92/3=xy $
che è impossibile perchè x e y sono interi e quindi lo sarà anche il loro prodotto..
la stessa cosa succede per x+y=-7 e x+y=-13
per x+y=7:
$ 49=13+3xy $
$ 36=3xy $
$ 12=xy $
sapendo che x+y=7 e xy=12 faccio un sistema e ottengo le soluzioni (4,3), (3,4)
per x+y=13
$ 169=7+3xy $
$ 162=3xy $
$ 54=xy $
sapendo che x+y=13 e xy=54 faccio un sistema e ottengo $ y^2-13y+54=0 $ che avendo un delta negativo è impossibile..
quindi le coppie sono (4,3), (3,4), (6,-5), (-5,6)
Inviato: 08 mag 2010, 17:05
perchè? se fosse stato primo come l'avresti risolto??Euler ha scritto:All'inizio non mi veniva proprio per questo!ndp15 ha scritto:Il difficile dell'esercizio è ricordarsi che 91 non è primo!
cmq scusate la mia ignoranza...
Inviato: 08 mag 2010, 17:16
Sempre con i sistemi, però devi considerare soloi casi (1,p), (p,1), (-1,-p), (-p,-1), se il numero non è primo ne hai chiaramente molti di più... Quindi se non ti ricordi che 91 è primo salti parecchi casi che possono portare a soluzioni valideio.gina93 ha scritto:perchè? se fosse stato primo come l'avresti risolto??Euler ha scritto:All'inizio non mi veniva proprio per questo!ndp15 ha scritto:Il difficile dell'esercizio è ricordarsi che 91 non è primo!
cmq scusate la mia ignoranza...
Inviato: 08 mag 2010, 17:27
ok!!
capito! grazie ^^
cmq ho dimenticato il caso x+y=91, invece il caso x+y=-91 è impossibile.
per il caso x+y=91 verrebbe un sistema con
2760=xy e x+y=91
e quindi un'equazione x^2-91x+2760 che ha un delta negativo e quindi impossibile..
p.s. grazie ancora per la spiegazione
capito! grazie ^^
cmq ho dimenticato il caso x+y=91, invece il caso x+y=-91 è impossibile.
per il caso x+y=91 verrebbe un sistema con
2760=xy e x+y=91
e quindi un'equazione x^2-91x+2760 che ha un delta negativo e quindi impossibile..
p.s. grazie ancora per la spiegazione