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Dato il triangolo AOB retto in B con OA=2a e OB=a, determinare sul lato OA un punto P in modo che, dette H e K le proiezioni di P su OB e su AB, sia minima la distanza HK.

Il problema l'ho risolto senza difficoltà, ma senza riuscire a trovare una dimostrazione adeguata... O meglio: ho risolto il problema ma senza saper dimostrare che non ci fossero segmenti più corti.

Sicuro di aver messo le lettere correttamente?

Perchè se sono come le hai messe te H coincide sempre con O, mentre K viaggia su AB...

e la distanza minima tra la retta AB e il punto O è chiaramente la perpendicolare ad AB passante per O...quindi P coincide con O anche lui...

ehm... retto in B

Approccio puramente scolastico.

Si nota che il quadrilatero $ $HPKB$ $ è un rettangolo e quindi $ $HK\cong BP$ $. Vogliamo minimizzare $ $BP$ $.

Sia $ $\widehat{PBA}=\beta$ $. Allora per il teorema dei seni $ $PB=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{\sin{(150°-b)}}$ $ perché $ $BA=\sqrt{3}a$ $ per pitagora, e $ $\widehat{BAP}=\arcsin{\frac{a}{2a}}=30°$ $.

Vogliamo minimizzare $ $PB$ $, cioè massimizzare $ $\sin{(150°-\beta)}$ $. Il seno è massimo quando l'angolo è $ $90°$ $ e quindi $ $\beta=60°$ $ che è accettabile.

Se non pensi che PB è congruente a HK le cose si mettono male

Grazie mille

propongo questa:
dopo aver notato che si BP=HK come ha fatto ngshya, a questo punto basta fare la ditanza minima di B da OA che per definizione è il segmento perpendicolare a OA, ovvero l'altezza. Notto la similitudine tra BPD e BOA e trovo $ BP= \frac{\sqrt3}{2} a $, per trovare l'esatta posizione di P trovo PO con pitagora o con euclide per cambiare, e ho che $ OB^2=OP \cdot OA $$ ---> OP= \frac {a}{2} $