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Ecco un problema della finale che mi è sembrato carino:
Si prenda un triangolo rettangolo, si costruiscano i quadrati sui lati e si congiungano i vertici per formare un esagono. Il triangolo ha cateti interi e l'esagono ha area 1922, determinare l'area del triangolo iniziale

Ovviamente la prima parte è geometrica, ma il resto è teoria dei numeri

bha chissà cosa ho sbagliato mi viene senza soluzione:

allora l'area dell'esagono è, indicando con x,y i cateti e z l'ipotenusa e alfa l'angolo compreso tra x e l'ipotenusa.
$ x^2+y^2+z^2+xy+\frac{sen(\alpha)xz+cos(\alpha)yz}{2}=1922 $
a questo punto ricordiamo che
$ sen(\alpha)=\frac{y}{z} cos{\alpha}=\frac{x}{z} xy=1922-(x^2+y^2+z^2+xy) $
inoltre sappiamo che $ x^2+y^2=z^2 $ quindi
$ 2xy= 1922-2z^2\\ xy=31^2-z^2\\ xy=(31-z)(31+z) $

quindi z è minore di 31
se x e y sono coprimi allora la terna è primitiva, ma quindi avremmo che x+y=62 e non ci sono terne primitive con ipotenusa minore di 31 dove questo sia verificato.
quindi la terna non è primitiva.
allora l'ipotenusa è moltiplicata almeno per 2, dunque le terne primitive dalle quali può derivare la nostra diminuiscono e diventano solamente 2:
3,4,5 e 5,12,13

bhe a questo punto abbiamo diverse terne deputate, che sono la prima moltiplicata per i numeri da 2 a 6 e la seconda moltiplicata per 2.

ad occhio non mi sembra ce ne siano...

dove sbaglio?

Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ 2z^2+2xy=1922 $
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

Non ho controllato il procedimento, ricordo però che un problema della gara a squadra può essere senza soluzione (si indica 0000).

Ah non lo sapevo,allora penso proprio che la risposta sia 0000
Euler può confermare?

mi sembra strano, non ho mai visto un problema senza soluzioni (vabbè che ne ho fatte 3-4 di gare a squadre )

gian92 ha scritto:mi sembra strano, non ho mai visto un problema senza soluzioni (vabbè che ne ho fatte 3-4 di gare a squadre )

Io neanche una se è per quello!
Ho solo letto il regolamento

trugruo ha scritto:Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

Sbaglio che sono tutto scemo
La soluzione c'è ed è 11,24 (o 24,11)

Gian92 in quel modo non la trovi perché non è detto che $ z^2 $ sia un quadrato di un intero
infatti il testo dice che x e y devono essere interi,ma z non necessariamente
quindi z viene radice di qualcosa e quindi z^2 = intero che però non è il quadrato di un intero

trugruo ha scritto:

trugruo ha scritto:Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

Sbaglio che sono tutto scemo
La soluzione c'è ed è 11,24 (o 24,11)

Gian92 in quel modo non la trovi perché non è detto che $ z^2 $ sia un quadrato di un intero
infatti il testo dice che x e y devono essere interi,ma z non necessariamente
quindi z probabilmente viene radice di qualcosa e quindi z^2 = intero che però non è il quadrato di un intero

ahah ecco l'imbroglio

a me era sfuggito che solo i cateti erano interi!

Sì ma ora è il momento di postare una bella risoluzione della diofantea
$ x^2+y^2+xy=31^2 $

Allora nessuna buona idea per risolvere questa diofantea in maniera dignitosa?

risolviamo rispetto a x:
$ x=\frac{-y\pm\sqrt{62^2-3y^2}}{2} $
bene ora abbiamo che
$ 62^2-3y^2=k^2 $
per qualche k
$ (62-k)(62+k)=3y^2\\ 3|62-k o 3|62+k\\ k=3k_1+1\\ (61-3k_1)(21+k_1)=y^2\\ $
analizzando modulo 4 abbiamo che per y pari k è dispari.
$ y=2y_1\\ k_1=2k_2+1\\ (58-6k_2)(22+2k_2)=4y_1^2\\ (29-3k_2)(3+k_2)=y_1^2\\ $
quindi abbiamo 9 valori possibili per $ k_2 $
provandoli tutti abbiamo un quadrato perfetto solo per $ k_2=7 $
quindi y=24 e k=46
dunque $ x=\frac{-24+46}{2}=11 $
quindi una soluzione è (x,y)=(11,24)

manca il caso in cui modulo 4 otteniamo che per y dispari k è pari...

la mia non è una maniera dignitosa
p.s. tra l'altro non risolvo niente...però in gara sarebbe bastato

va bene

te come l'hai fatta?
nello stesso modo, più o meno?

sì ,però vedo se riesco a trovarne una migliore