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siano a e n due interi positivi con a>=4,dimostrare che esistono tre interi positivi x,y,z tali che:
$ (4a-10)^n-(a-4)^n=x(a-1)+y(a-2)+z(a-3) $

ad esempio prendendo a=5,n=2,x=y=z=11 funziona,avendo trovato che con questi numeri funziona devo fare lo stesso la dimostrazione o è sufficiente aver trovato questa soluzione?

No,basta già aver trovato la terna e quindi aver dimostrato la sua esistenza(a meno di segoni filosofici )

A me sembra di capire che bisogna dimostrare che esiste una terna per ogni $ n>0 $ e $ a\ge4 $, con quell'esempio lo fai solo per a=5 e n=2.
Potrei sbagliarmi però...

HINT:
basta prendere x=y=z....

Sia $ A=4a-10, B=a-4, C=A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots + AB^{n-2} + B^{n-1} $, C è positivo in quanto A è positivo e B è non negativo.

allora

$ A^n-B^n = (A-B)C = (3a-6)C=(a-1)C + (a-2)C + (a-3)C $