OliForum Matematico

è il primo problema che posto..


"qual è quel numero che moltiplicato per 99 è uguale al numero stesso ma con un 1 davanti e uno dietro??"

Il problema non l'ho inventato io...
Era dello stage di Ivrea 2008...
Cmq la soluzione che ci hanno dato era giusta ma la spiegazione non si capiva tanto...
Io poi l'avevo risolto in modo diverso...

Posto 99x = 10^n + 10x + 1; 89x = 10^n + 1, serve un 10^n + 1 divisibile per 89, dove n è il numero delle cifre di x, più due.
Un numero è divisibile per 89 se moltiplicando la sua ultima cifra per 9 e sommandola al numero privo dell'ultima cifra otteniamo un numero divisibile per 9.
Considero le ultime due cifre di 10^n + 1, applicando volta per volta quel criterio, e sapendo che le prime n - 2 cifre sono un 1 e diversi zeri.
Poiché ogni passaggio riduce l'esponente di 1 (visto che si elimina l'ultima cifra), so già che otterrò 88 solo al passaggio n-esimo, perché a quel punto avrò 10^(n - n) + 88, ossia 89, e sarò quindi certo che 10^n + 1 è multiplo di 89.

1 -> 9 -> 81 -> 17 -> 64 -> 42 -> 22 -> 20 -> 2 -> 18 -> 73 -> 34 -> 39 -> 84 -> 44 -> 40 -> 4 -> 36 -> 57 -> 68 -> 78 -> 79 -> 88

Ventidue passaggi. 10^(n - 22) + 88 è divisibile per 89, quindi n = 22, e x = (10^22)/89 = 112359550561797752809.

Non è linearissimo come discorso, però fila. Ci sarà sicuramente qualche soluzione più elegante.

tranquillo!!
Anch'io l'avevo risolto così

cmq nella soluzione, c'era scritto che bisognava fare delle addizioni..
sinceramente non capivo perché

Ma voi quella divisione l'avete fatta a mano, vero?
Penso che in alternativa si possa fare così:
$ 100x=1x1+x $
(credo capiate la notazione)
Ora, chiamate $ a_0 $ la cifra delle unità. Di certo dovrà valere
$ 1+a_0=10 $
(fate in colonna la somma 1x1+x)
e quindi $ a_0=9 $.
Poi di certo $ 1+a_1+a_0=10 $ e quindi $ a_1=0 $.
Poi $ 1+a_2+a_1=a_0 $ ovvero $ 1+a_2=9 $ e quindi $ a_2=8 $. E via così, tenendo conto dei riporti.
Quando potrete fermarvi?

capito!! thanks
certo che me l'avevano spiegato proprio male...