OliForum Matematico

Una lumaca si muove in linea retta per 24 ore, sempre nella stessa direzione (a velocità variabile, può stare anche ferma). Dei tizi si divertono a guardarla muoversi, ognuno la guarda per un'ora esatta. In seguito si riuniscono e parlando scoprono che ogni tizio ha visto la lumaca fare esattamente un metro e che la lumaca è stata guardata in ogni momento da almeno un tizio.
Quanto può aver fatto al massimo la lumaca? E al minimo?

p.s. ispirato ad un problema dei kangorou

Al minimo, un metro. Ci sono n tizi, e i primi 10 minuti la guardano tutti. In quei 10 minuti fa un metro, poi si ferma. In seguito quei tizi si alternano e la guardano 50 minuti a testa, ma lei sta sempre ferma.

Al massimo, anche infiniti, dipende da quanti tizi la guardano, e dalla velocità massima. Se ad esempio la velocità massima è 1m/s, allora va a quella velocità per 23 h, 00 m 01 s, percorrendo quindi 23*3600 + 1 = 82.801 metri, con 82.801 tizi ad osservarla, alternandosi ogni secondo. Poi, tutti la osservano per i restanti 59 m 59 s, nei quali sta ferma.

Il discorso è diverso se le ore in cui viene osservata devono essere continuate. Ma aspetto chiarimenti.

dario2994 ha scritto: p.s. ispirato ad un problema dei kangorou

è anche simile ad un problema della finale della Bocconi di quest'anno

Ops... mi sono scordato di dire che i tizi la guardano per "un'ora di seguito"... comunque era presumibile, senno il problema è una boiata

Per ogni tizio, la velocità media della lumaca è 1 m/h, indipendentemente dagli scatti felini o dai riposi che la lumaca fa durante il tempo in cui un tizio la guarda.
Lasciamo quindi perdere eventuali scatti e pit-stop, e mettiamoci nei panni di un tizio: egli è come se la vedesse andare a velocità costante di 1 m/h. Sommando tutti i tizi, è come se la lumaca durante tutto il tragitto si muovesse di velocità costante di 1 m/h, e il percorso sarà in ogni caso 24m.

??? Sei sicuro ???

La prima parte ovviamente sì. Il resto è solo una mia soluzione che può essere (e secondo me lo è) sbagliata . Tuttavia non riesco a vedere l'errore.

Il fatto è che la lumaca può avere un grande pubblico in alcuni momenti, facendo accavvallare le medie dei tizi... che quindi non ha più senso sommare... non so se è chiaro .
Continuate a provare a mettere soluzioni... mi è tanto piaciuto st'esercizio e mi piacerebbe che per una volta qualcuno risolvesse gli esercizi che posto xD

al minimo 24 metri...

poi non ne sono sicura 86 399 m??
puo darsi che percorra un metro al secondo??
tutti all'inizio guardano la lumaca muoversi di un metro al secondo e si danno il cambio...
poi tutti insieme la fissano per i restanti 59 minuti e 59 secondi..

Uff... ho gia detto che la guardano un'ora di seguito.
E quel minimo come lo motivi... un numero per me è solo un numero... una dimostrazione è ben altro.

A me verrebbe da dire che il minimo è 13...
Edit

Proviamo a ridurre gli intervalli. Prendiamo un intervallo di 3 ore, durante la prima e durante l'ultima deve necessariamente percorrere solo un metro.

Provo a massimizzare la distanza.

Supponiamo percorra un metro la prima e l'ultima mezz'ora.
Dimostro che durante la seconda ora può percorrere due metri. Ho sei mezze ore, ogni numero indica i metri percorsi nella mezz'ora indicata. Se comincia a guardare una sola persona, e la seconda arriva dopo 30 minuti, la terza dopo 90 e la quarta dopo 120 dall'inizio, lo schema 1 - 0 - 1 - 1 - 0 - 1 è assolutamente valido.

Ripetendo questo schema otto volte, so che la lumaca può sicuramente percorrere almeno 32 metri. Invertendo gli 0 e gli 1, ottengo uno schema altrettanto valido che minimizza la distanza, riducendola a 16 metri.

Questo schema, ci dà uno 0 ogni due 1, esclusi gli estremi, ed è il migliore possibile. Infatti non posso mettere tre 1 consecutivi, perché altrimenti una persona guarda la lumaca fare due metri; allo stesso modo non posso partire con due numeri uguali, perché c'è almeno una persona che guarda la lumaca durante tutta la prima ora. Basta ripeterlo per massimizzare (o minimizzare, invertendo 0 e 1) la distanza totale. Anche riducendo gli intervalli, non posso comunque mettere più di due 1 consecutivi, e quindi torniamo al caso con gli intervalli di mezz'ora.

Le risposte sono quindi 16 e 32 metri.

Questo è un passetto avanti
Hai mostrato che 16-32 si realizzano... non che sono il minimo e massimo, chi ti assicura che non si può fare di meglio? Magari i tizi non guardandola in quel modo ma in un altro le permettono di fare di più: nessuno ha detto che ogni mezz'ora arriva un nuovo tizio, è un'ipotesi che hai aggiunto tu e la dimostrazione che hai dato del fatto che è la situazione migliore falla

Immaginiamo che mentre il primo guardi la lumaca stia ferma e un infinitesimo di secondo prima della fine dell'ora inizi a guardare anche il secondo e la lumaca in quel tempo minimo percorra 1m, allora starà ferma per tutta la durata del secondo e del terzo e nuovamente un infinitesimo di secondo prima il quarto inizi a guardare e in quel tempo faccia nuovamente 1m. Continuando così arriveremo che alla fine dell'ora del 24° tizio manchino quegl'infinitesimi persi per la fine delle 24 ore, così ci sarà un 25° tizio che la guardera quasi contemporaneamente al 24° e quando questo non guarderà più la lumaca percorrerà un metro. In questo modo dovrebbe percorrere 13m...

Altro passetto verso il minimo... 13, ma sarà il minimo? O sta lumachina può fare ancora meno se i tizi le danno la possibilità?