OliForum Matematico

dimostrare che le proiezioni sui lati di un triangolo di due punti, tali che uno sia il coniugato dell'altro, sono concicliche

Suppongo che si parli di coniugati isogonali .Se è così allora il quesito si risolve tramite note proprietà delle coniche.Siano dunque ABC il triangolo ed S,S' due punti coniugati ( isogonali ) rispetto ad ABC.Consideriamo la conica c a centro inscritta in ABC ( ovvero tangente al lati dello stesso) ed avente un fuoco in S.Tale conica è unica perché le rette congiungenti S con i punti ciclici del piano di c sono tangenti alla conica medesima e ciò porta a 5 le condizioni su c.Indichiamo ora con X l'altro fuoco di c .Per una nota proprietà delle coniche, le rette AS ed AX sono ugualmente inclinate sulle tangenti AB ed AC uscenti da A e quindi AX deve passare per S',dato che per ipotesi le rette AS ed AS' sono anch'esse ugualmente inclinate su AB e AC.Applicando un ragionamento analogo alle altre due coppie di tangenti a c (BA,BC) e (CA,CB), si conclude che in realtà X coincide con S'.A questo punto ricordiamo che la proiezione ortogonale di S sulla generica tangente a c ,al variare di detta tangente,cade sempre sulla circonferenza di un medesimo cerchio detto "cerchio podario" di S rispetto a c , od anche "cerchio principale ",luogo dei piedi delle normali alle tangenti a c condotte da S ( o da S' ). Esso ha come centro il centro della conica e per diametro l'asse focale di c .Ma allora anche le proiezioni di S sui lati di ABC ,tangenti per ipotesi a c , appartengono a tale circonferenza.E vi appartengono anche le proiezioni di S' sui medesimi lati ,dal momento che il "cerchio podario" è unico.