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Salve ragazzi.Ieri a scuola stavo risolvendo un problema del genere:

Per quali interi n, 2n + 1 è multiplo di 3?


Ecco la mia soluzione:

Dato che che 2n + 1 deve essere un multiplo di 3 riscrivo l'equazione in questo modo :



$ 2n + 1 = 3x $

da cui $ 3x - 2n = 1 $

risolvendo la diofantea ottengo che $ x = 1 - 2m $ e $ n = 1 - 3m $.Quindi le soluzioni di n sono $ 1- 3m $ al variare di m su tutti gli interi.



Sinceramente non so se la soluzione sia giusta ,però provando a sostituire qualche numero funziona.Stavo pensando ad una soluzione usando $ (mod 3) $,ma non so come fare.Qualcuno mi può aiutare?

È giusta, ma in questi casi io l'avrei fatta più elementare:
$ 2n+1=3x $, dunque x è dispari, visto che se fosse pari, $ x=2y $ allora $ 2n+1=6y $ dunque $ 2(n-3y)=1 $ chiaramente assurdo.
$ x=2z+1 $ dunque $ 2n+1=6z+3 $ e $ 2(n-3z)=2 $ dunque $ n-3z=1 $ quindi $ n=3z+1 $. Si vede poi facilmente il solo se:
infatti se $ n=3z+1 $ per ogni z appartenente a Z, allora $ 2n+1=6z+3=3(z+1) $ e quindi è un multiplo di 3.
Al di là del problema il mio consiglio quando provi a risolvere un quesito di questo tipo, non buttarti subito sull'ultima cosa che hai imparato,ma vedilo per qualche minuto sotto l'ottica del banale, aiuta!

Si però vedendolo in questo modo non si allunga un pò troppo il discorso? E' vero che per esercizio va bene,però mentre si è in gara si ci può confondere.Boh non so

Se conosci le congruenze diventa
2n+1 = 0 mod 3

3n-n+1=0 mod 3
n=1 mod 3

cioè per tutti gli n della forma 3k+1

eh già...molto più semplice con le congruenze...

Si è più semplice.Fra poco le studierò

ops, senza volutamente guardare le soluzioni proposte dopo (genius & co.), anch'io l'avrei risolta come matty...









(me vò a impiccà)

FLINT ha scritto:ops, senza volutamente guardare le soluzioni proposte dopo (genius & co.), anch'io l'avrei risolta come matty...









(me vò a impiccà)

Perchè? non è un errore, ma soltanto un modo diverso di trovare la soluzione.Certo se uno conosce le congruenze è meglio,però non è il caso di farla tragica

Comunque quà congruenze o non congruenze cambia poco, anche andando nell'altra direzione:
$ 2n+1=3x \Rightarrow n=\frac{3x-1}2} $ da cui subito $ x=2m+1 $
Non è che perdi così tanto tempo rispetto alle congruenze.
Comunque Matty per i numeri dispari non scrivere 1-2m 2m+1, al massimo 2m-1 se non conti lo 0