OliForum Matematico

buongiorno a tutti - non l'ho postata in combinatoria perchè credo che sia veramente elementare

dimostrare che ogni permutazione è ottenibile come composizione di cicli disgiunti, e tale composizione è unica a meno dell'ordine

È elementare?

Forse mi son perso qualcosa, ma la prima (e unica) volta che ho visto dimostrato questo fatto è stato nel corso di Algebra del primo anno di università. C'è anche sul ben noto Herstein, comunque.

ed in effetti sono al primo anno dell'università il nostro prof ce l'ha lasciata per esercizio (simpatico, vero?) e la dimostrazione che sono riuscito a produrre è molto contorta....posso trovare in rete questo Herstein?

Ani-sama ha scritto:È elementare?

Forse mi son perso qualcosa, ma la prima (e unica) volta che ho visto dimostrato questo fatto è stato nel corso di Algebra del primo anno di università. C'è anche sul ben noto Herstein, comunque.

Dai questo mica significa che non può essere elementare,difatti al corso di Algebra1 di solito dimostrano tante cose che sono di fatto elementari;questa in effetti direi che è ampiamente elementare. Magari bestiedda aspetta un pò a vedere se qualche liceale lo prende come esercizio e te lo fa, poi quando ti sei stufato magari posta la tua che probabilmente ,se è giusta, si semplificherà in qualcosa di semplice.
Ciaociao

E' un fatto elementare in modo talmente limpido e chiaro che non mi capacito di come possa comparire la parola "algebra" come prima risposta.

Fissa una permutazione f di {1,...,n}. 1 va in f(1), che va in f(f(1)), che va in f(f(f(1))), etc etc. Ad ogni salto troverai sempre un elemento distinto dai precedenti, per iniettività, finché ritornerai in 1. E questo è il primo ciclo. Rimane fuori qualche elemento? Se sì, ripeti, ed ottieni gli altri cicli. Sono disgiunti? Sì, per iniettività. La scomposizione è unica a meno dell'ordine? Ma per favore... Veramente?? No, guarda...

Tibor Gallai ha scritto:E' un fatto elementare in modo talmente limpido e chiaro che non mi capacito di come possa comparire la parola "algebra" come prima risposta.

Fissa una permutazione f di {1,...,n}. 1 va in f(1), che va in f(f(1)), che va in f(f(f(1))), etc etc. Ad ogni salto troverai sempre un elemento distinto dai precedenti, per iniettività, finché ritornerai in 1. E questo è il primo ciclo. Rimane fuori qualche elemento? Se sì, ripeti, ed ottieni gli altri cicli. Sono disgiunti? Sì, per iniettività. La scomposizione è unica a meno dell'ordine? Ma per favore... Veramente?? No, guarda...

espliciteresti la parte sull'unicità?

I cicli sono disgiunti, quindi la restrizione di f agli elementi di un suo ciclo coincide col ciclo stesso.