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Intersezione di parabole
Inviato: 31 mag 2010, 16:46
da Euler
Un quadrato di lato 100 è attraversato da due parabole, una che va dagli estremi di un lato al punto medio del lato opposto, l'altra dagli estremi del lato adiacente (a destra o a sinistra, non cambia niente
) al punto medio del lato opposto.
Determinare l'area del quadrilatero formato dai quattro punti di intersezione delle due parabole.
Buon lavoro!
Inviato: 31 mag 2010, 18:31
da Crazy Math
Mettendo il quadrato nel piano cartesiano, scrivendo l'equazione delle due parabole, trovando i punti di intersezione e risolvendo un po' di integrali, a me viene che l'area vale $ \displaystyle{\frac{14375}{3}} $.
Inviato: 31 mag 2010, 18:36
da Claudio.
Analiticamente credo si faccia abbastanza velocemente...Normalmente non mi è venuto
, comunque il fatto che tu l'abbia postato in algebra dovrebbe far pensare che anche tu l'hai risolto analiticamente .
E a cosa ti sono serviti gli integrali? O.O
Se a qualcuno importa ho fatto un disegno un po' approssimato.
EDIT.
Inviato: 31 mag 2010, 19:08
da Mike
ho provato a risolverlo analiticamente, mi sono arreso quando ho visto un'equazione di quarto grado a coefficenti con 5 cifre...
Inviato: 31 mag 2010, 19:11
da Euler
Stessa cosa per me, alla fine ho usato il sacro strumento proibito.
Inviato: 31 mag 2010, 19:13
da Mike
Euler ha scritto:Stessa cosa per me, alla fine ho usato il sacro strumento proibito.
Ovverossia...?
Inviato: 31 mag 2010, 19:14
da sasha™
C'è un metodo bello o è solo calcolo?
Chiamando ABCD il quadrato, e diamogli per vertici (-50, 0), (-50, 100), (50, 0) e (50, 100). Fisso i vertici delle parabole in (0, 0) e (-50, -50). Un punto d'intersezione (diciamo A) è un vertice del quadrato, un altro (diciamo E) è sulla diagonale AC e gli altri due sono simmetrici rispetto ad AC.
L'equazione delle parabole è y = x²/25, quindi il punto E è tre quarti della diagonale AC, partendo da A. AE = 75√2. Mi basta trovare una qualsiasi altra intersezione, calcolo l'area del triangolo di base AE e raddoppio.
Trovare l'altra intersezione sembra brutto, dunque, l'altra parabola ha equazione x = y²/25 + by + 50, visto che hanno la stessa apertura, e passa per (50, 0). Ha vertice in (-50, 50), trovo b di conseguenza. - 50 = 100 + 50b + 50; b = - 4.
Quindi l'equazione è x = y²/25 - 4y + 50.
Metto a sistema, $ x = \frac{x^4}{15625} - \frac{4x^2}{25} + 50 $. Non saprei trattare questo obbrobrio. $ x^4 - 2500x^2 - 15625(x + 50) = 0 $. $ x^2(x + 50)(x - 50) = 15625(x - 50) $. Toh, posso semplificare ponendo x ≠ 50 (che mi dà l'intersezione (50, 100)).
$ x^2(x + 50) = 15625 $. Lo scompongo, vediamo che succede.
$ (x + 25)(x^2 + 25x - 625) = 0 $ Bé, x = -25 l'ho già considerata, mi resta il polinomio di secondo grado. Le radici sono $ -\frac{25}2(\sqrt5 + 1) $ e $ \frac{25}2(\sqrt5 - 1) $.
Le relative ordinate sono $ \frac{25}4(6 - 2\sqrt5) $ e $ \frac{25}4(6 + 2\sqrt5) $, e la distanza fra i punti $ (-\frac{25}2(\sqrt5 + 1), \frac{25}4(6 + 2\sqrt5)) $ e $ (\frac{25}2(\sqrt5 - 1), \frac{25}4(6 - 2\sqrt5)) $ è $ \sqrt{(25\sqrt5)^2 + (25\sqrt5)^2} = \sqrt{2*5^5} = 25\sqrt{10} $
La lunghezza dell'altra diagonale del quadrilatero era 75√2, avevamo detto. Moltiplico queste due diagonali, divido per 2 e ho l'area, che mi esce 1875√5. Ok, dove ho sbagliato?
Inviato: 31 mag 2010, 19:14
da Euler
La calcolatrice!! E per di più andando a tentativi XD
Inviato: 31 mag 2010, 19:21
da Euler
sasha™ ha scritto:C'è un metodo bello o è solo calcolo?
Chiamando ABCD il quadrato, e diamogli per vertici (-50, 0), (-50, 100), (50, 0) e (50, 100). Fisso i vertici delle parabole in (0, 0) e (-50, -50). Un punto d'intersezione (diciamo A) è un vertice del quadrato, un altro (diciamo E) è sulla diagonale AC e gli altri due sono simmetrici rispetto ad AC.
L'equazione delle parabole è y = x²/25, quindi il punto E è tre quarti della diagonale AC, partendo da A. AE = 75√2. Mi basta trovare una qualsiasi altra intersezione, calcolo l'area del triangolo di base AE e raddoppio.
Trovare l'altra intersezione sembra brutto, dunque, l'altra parabola ha equazione x = y²/25 + by + 50, visto che hanno la stessa apertura, e passa per (50, 0). Ha vertice in (-50, 50), trovo b di conseguenza. - 50 = 100 + 50b + 50; b = - 4.
Quindi l'equazione è x = y²/25 - 4y + 50.
Metto a sistema, $ x = \frac{x^4}{15625} - \frac{4x^2}{25} + 50 $. Non saprei trattare questo obbrobrio. $ x^4 - 2500x^2 - 15625(x + 50) = 0 $. $ x^2(x + 50)(x - 50) = 15625(x - 50) $. Toh, posso semplificare ponendo x ≠ 50 (che mi dà l'intersezione (50, 100)).
$ x^2(x + 50) = 15625 $. Lo scompongo, vediamo che succede.
$ (x + 25)(x^2 + 25x - 625) = 0 $ Bé, x = -25 l'ho già considerata, mi resta il polinomio di secondo grado. Le radici sono $ -\frac{25}2(\sqrt5 + 1) $ e $ \frac{25}2(\sqrt5 - 1) $.
Le relative ordinate sono $ \frac{25}4(6 - 2\sqrt5) $ e $ -\frac{25}4(6 + 2\sqrt5) $, e la distanza fra i punti $ (-\frac{25}2(\sqrt5 + 1), -\frac{25}4(6 + 2\sqrt5)) $ e $ (\frac{25}2(\sqrt5 - 1), \frac{25}4(6 - 2\sqrt5)) $ è $ \sqrt{(25\sqrt5)^2 + 75^2} = \sqrt{5^5 + 3^2*5^4} = 25\sqrt{14} $
La lunghezza dell'altra diagonale del quadrilatero era 75√2, avevamo detto. Moltiplico queste due diagonali, divido per 2 e ho l'area, che mi esce 1875√7. Ok, dove ho sbagliato?
Il risultato sarebbe
4192 ...
Io ho considerato sempre il sistema e, trovati i punti (con la calcolatrice), ho trovato l' area togliendo al semiquadrato un triangolo e due trapezi e raddoppiando.
Inviato: 31 mag 2010, 19:25
da sasha™
Se i punti sono quei 4, allora proprio non capisco dov'è che ho sbagliato.
Inviato: 31 mag 2010, 19:29
da Spammowarrior
butto lì una idea brutta e di analisi:
con qualche integralazzo calcolo l'area compresa tra le due parabole, e poi sottraggo i 4 segmenti parabolici.
in linea di massima mi sembra che possa funzionare, però non lo faccio perchè sono una marea di conti enormi
Inviato: 31 mag 2010, 19:31
da Euler
Spammowarrior ha scritto:butto lì una idea brutta e di analisi:
con qualche integralazzo calcolo l'area compresa tra le due parabole, e poi sottraggo i 4 segmenti parabolici.
in linea di massima mi sembra che possa funzionare, però non lo faccio perchè sono una marea di conti enormi
Ci avevo pensato anch'io, ma come si calcola l'area di un segmento parabolico?
Inviato: 31 mag 2010, 19:33
da Mike
Euler ha scritto:
Ci avevo pensato anch'io, ma come si calcola l'area di un segmento parabolico?
è i 4/3 del massimo triangolo inscritto in quel segmento parabolico.
Inviato: 31 mag 2010, 19:34
da Claudio.
Euler ha scritto:Spammowarrior ha scritto:butto lì una idea brutta e di analisi:
con qualche integralazzo calcolo l'area compresa tra le due parabole, e poi sottraggo i 4 segmenti parabolici.
in linea di massima mi sembra che possa funzionare, però non lo faccio perchè sono una marea di conti enormi
Ci avevo pensato anch'io, ma come si calcola l'area di un segmento parabolico?
Se non sbaglio è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto, cioè che ha un lato che è il segmento, e l'altro lato parallelo al segmento appariene alla tangente parallela al segmento.
Inviato: 31 mag 2010, 19:36
da Euler
E come lo trovo il massimo triangolo?
Perdonate la mia ignoranza, ma il calcolo infinitesimale l'ho imparato da solo e a parte i concetti generali non è che sappia molte cose.