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Sia n>1 un intero fissato, e f(n) il numero di modi possibili in cui può essere espresso come somma di quadrati. Siano anche a(n) il numero di divisori di n della forma 4m+1, e b(n) il numero di divisori di n della forma 4m+3.

Dimostrate che f(n)=4[a(n)-b(n)].

E poi risolvete questo!

mhh..
ma se io prendo 10 che può essere espresso come 9+1 e basta ha un divisore della forma $ 4k+1 $,5, dovrebbero esserci quindi 4 modi per scriverlo, oppure 8 se bisogna contare anche 1 (?)

gian92 ha scritto:mhh..
ma se io prendo 10 che può essere espresso come 9+1 e basta ha un divisore della forma $ 4k+1 $,5, dovrebbero esserci quindi 4 modi per scriverlo, oppure 8 se bisogna contare anche 1 (?)

Non penso si considerino solo le somme di due quadrati, quindi per 10 dovrebbe valere pure 4+4+1+1 eccetera...

E quindi 4 modi, ovvero senza l'1...

No, sono proprio le somme di due quadrati, ma in questo senso:
consideriamo la funzione $ f(x,y)=x^2+y^2 $
allora $ 4(d_1(n)-d_3(n)) $ conta le controimmagini intere di n.
Ad esempio, per n=10, vanno bene le coppie
(1,3) (3,1) (-1,3) (3,-1) (1, -3) (-3,1) (-1,-3) (-3,-1)
Quindi due soluzioni sono considerate distinte se differenti in ordinamento o segno.

E' teoria dei numeri, ma se lo ritieni opportuno spostalo pure in mne

Se ne hai una soluzione che non usa cose "non elementari", può stare qui. Diciamo una soluzione accessibile a qualcuno che si prepari alle IMO (cioè, non è che si debba usare solo le congruenze... basta che non si usi teoria analitica dei numeri).