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Ciao a tutti, mentre stavo studiando le successioni di funzioni uniformemente convergenti mi è venuto in mente il seguente quesito, la cui risposta sono convinto sia positivo, ma dopo due giorni non sono ancora riuscito a dimostrare; se qualcuno di voi riuscisse a dirmi qualcosa in più o darmi qualche consiglio ne sarei veramente grato. La mia ipotesi è la seguente:
Supponiamo di avere una successione di funzioni $ f_n(z) $ che converge uniformemente alla funzione $ f $ sul compatto $ K $;
Sia poi $ g_n $ un altra successione di funzioni tale che $ g_n(f(z)) $ converge uniformemente sempre su $ K $ alla funzione $ g(z) $;
Allora dovrebbe valere che la successione di funzioni $ g_n(f_n(z)) $ converge uniformemente su $ K $ a $ g $
é vero quanto suppongo? Grazie

Così, è falso. Servirà perlomeno (così su due piedi non so se è sufficiente) qualche ipotesi di continuità su $ $g_n $. Infatti, sia $ $[0,1] $ il compatto, $ $f_n(x)=\frac1n $, $ $f(x)=0 $, $ $g_n(0)=0 $, $ $g_n(x)=1 $ per x>0, $ $\lim_{n\to\infty}g_n(f(x))=0 $, $ $\lim_{n\to\infty}g_n(f_n(x))=1 $

uhm anche la continuità non serve a granché:
$ f_n(x)=(1+1/n)\cos(x) $
tende uniformemente a $ f(x)=\cos(x) $ su un qualunque compatto. Consideriamo [-1,1].
Sia
$ g_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1/n&\mathrm{se}\ |x|\leq 1\\ n\sqrt[n]{|x|-1}+1/n&\mathrm{se}\ 1\leq|x|\leq2\\ n+1/n&\mathrm{se}\ |x|\geq 2\end{array}\right. $
Sia inoltre $ g(x)=0 $; allora
$ g_n(f(x))=(1/n)\cos(x)\to0=g(x) $
uniformemente.
Del resto,
$ g_n(f_n(0))=n\sqrt[n]{1/n}+1/n\to\infty $.
Quindi i limiti non coincidono e comunque $ g_n(f_n(x)) $ non ha limite uniforme, anche non coincidente con g(x).

E anche il fatto che le g_n siano costanti in [-1,1] può essere evitato: nell'esempio precedente basta scegliere delle g_n che convergono uniformemente in [-1,1] e raccordarle, come è stato fatto, con le rette $ y=n+g_n(1) $ e $ y=n+g_n(-1) $. Questo cambierà solo il termine +1/n nel limite, che non è influente per la divergenza.