OliForum Matematico

$ \sqrt{(-1)\cdot\ (-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} $
Quindi
$ \sqrt{1}=i\cdot i $
Quindi
$ 1=-1 $
Dov'è l'errore??

EDIT: spostato in Glossario e teoria di base + mini-correzione nel codice TeX. ma_go

l'errore e' superficiale e profondo allo stesso tempo.

e' profondo nel senso che porta a cose interessanti (e non propriamente elementari), ed e' superficiale nel senso che viene dal fare le cose con una certa leggerezza.

bisogna mettersi d'accordo sulla risposta alla domanda "che cos'e' la radice quadrata?".
la risposta piu' generalmente accettata, e per molti versi piu' "comoda", e' "la radice quadrata di un numero reale non negativo a e' l'unico reale non negativo il cui quadrato sia a."
e questo spiega la parte "superficiale" della mia risposta: hai usato una funzione (la radice quadrata) dove non puoi usarla. in particolare, scrivere $ i=\sqrt{-1} $ non e' corretto. puoi scrivere solo $ i^2=-1 $.

adesso veniamo alla parte "profonda" (almeno, proviamoci): perche' ho specificato "reale non negativo"?
a. perche' prima di inventare i numeri complessi non sappiamo proprio cosa possa essere la radice di un numero negativo.
b. perche' dopo aver inventato i numeri complessi non sappiamo piu' distinguere tra le due radici dell'equazione $ x^2-a=0 $ (in realta' neanche quando a e' positivo, se vogliamo vivere davvero "dentro i complessi", perche' si perde l'ordine).
quindi non abbiamo un modo "preferito" di decidere qual e' "la" radice quadrata di un numero negativo (o di un numero complesso).

volendo, potremmo decidere artificiosamente che la radice di un numero complesso deve stare sempre nel semipiano positivo (meno la semiretta aperta dei reali negativi), e questa definizione sarebbe sensata*. ma si perdono le buone proprieta' che ha la radice quadrata "solita" sulla semiretta non negativa, cioe' ad esempio non e' vero che $ \sqrt{a^2} = a $ (come in realta' ti sei accorta anche tu.. se ci fai caso, il tuo esempio rientra nella mia definizione artificiosa).

spero che la spiegazione sia in qualche modo comprensibile

* qualunque definizione che prenda come codominio un sottoinsieme A dei complessi tale che A e -A siano disgiunti e la loro unione sia tutto il piano funzionerebbe. e tali insiemi possono fare schifo a piacere.

Sì, più o meno ho capito i punti fondamentali, anche se finora di complessi non ho sentito parlare quasi per niente...
Quindi in sostanza l'errore sta nel
$ \sqrt{-1}=i $

E non nel
$ \sqrt{(-1)\cdot\ (-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} $
come pensavo...

Quest'ultima cosa è sempre vera?


(Mi scuso per l'errore nello scegliere la sezione... )

no, quell'ultima cosa non e' vera, piu' o meno nello stesso modo in cui non ha senso scrivere $ \sqrt{-1} $. e' questione di domini di funzione.

ah, cmq, questa cosa è in giro da un po'....

ma anche
viewtopic.php?t=12248
viewtopic.php?t=7890

Va bene, grazie mille e scusate se ho aperto un topic "doppione".

E' un pò come scrivere che $ \sqrt 4 = \sqrt 2 \sqrt 2 $e calcolare le due radici singolarmente,cosicchè il risultato non sia 2

ma_go ha scritto:no, quell'ultima cosa non e' vera, piu' o meno nello stesso modo in cui non ha senso scrivere $ \sqrt{-1} $. e' questione di domini di funzione.

a proposito, per quanti si chiedano ma allora i che e', la sua definizione e' un poco diversa, ovvero $ ~i^2=-1 $.
E come detto in altri posti, coi complessi non puoi considerare 1 sola radice ma devi portarti dietro sempre tutte n

matty96, in verita' li' non c'e' possibilita' di errore. la radice e' definita dai reali non negativi ai reali non negativi.

matty96 ha scritto:E' un pò come scrivere che $ \sqrt 4 = \sqrt 2 \sqrt 2 $e calcolare le due radici singolarmente,cosicchè il risultato non sia 2

Ecco, proprio no.

Scusate scusate..... non mi è venuto un esempio migliore però ho capito.....(il mio esempio non è esatto dato che qui si parlava di immaginari)

matty96 ha scritto:(il mio esempio non è esatto dato che qui si parlava di immaginari)

Non proprio, il tuo esempio non è esatto non perché fosse fuori tema, ma perché è errato di per sé.
Dici che, "calcolando le due radici singolarmente" in $ $\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 $, il prodotto possa essere diverso da 2. Ma la radice quadrata è una funzione: $ $\sqrt a $, con $ $a\geq 0 $, è la non-negativa delle soluzioni dell'equazione $ $x^2=a $.
Quindi è esatto scrivere $ $\sqrt 4 = \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 $.

Penso che lui intendesse "calcolare" $ \displaystyle \sqrt 2 $ nel senso di scrivere $ 1,414 \dots $

Pigkappa ha scritto:Penso

No.

Pigkappa ha scritto:Penso che lui intendesse "calcolare" $ \displaystyle \sqrt 2 $ nel senso di scrivere $ 1,414 \dots $

Si io intedevo questo