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su un foglio quadrettato avete un quadrato di lato x (e i quadretti del foglio hanno lati x). Sapreste disegnare, senza compasso, un quadrato di area quintupla?

Allora, il quadrato di lato x ha area $ x^2 $, quindi il quadrato che devo disegnare deve avere area $ 5x^2 $, ovvero deve essere di lato $ x\sqrt5 $
La maniera più comoda per trovare un lato del genere mi pare considerare la diagonale di un rettangolo di lati x e 2x
Su un piano cartesiano, direi che il quadrato ABCD ha come vertici A(0,0) B(2x,x) C(x,3x) D(-x,2x)

Prendiamo un quadrato $ $ABCD $ di lato $ $3x $. Sul lato $ $AB $ individuiamo il punto $ $E $ che si trova a $ $2x $ dal punto $ $A $. Sul lato $ $BC $ prendiamo il punto $ $F $ che si trova a $ $2x $ da $ $B $ ripetendo il passaggio per gli altri due lati. Il segmento $ $EF $, così come gli altri individuati dai punti trovati, misura $ $x\sqrt{5} $. Quindi l'area sarà $ $5x^2 $. Spero di non aver sbagliato qualcosa .

Oops, mentre scrivevo ha risposto anche max tre.

Esatto! Forse era un po' facilino...

Egl, se tu consideri un quadrato ABCD di lato 3x l'area non è più x^2 ma 9x^2 pertanto quello grande dovrà essere 45 x^2... o sbaglio?

SalvoLoki ha scritto:Egl, se tu consideri un quadrato ABCD di lato 3x l'area non è più x^2 ma 9x^2 pertanto quello grande dovrà essere 45 x^2... o sbaglio?

Credo abbia preso il quadrato di lato 3x per "inscriverci" quello di area quintupla rispetto a quello d'inizio.

Appunto, ma come può un quadrato grande 5 volte quello originale essere inscritto in esso?...

@SalvoLoki forse l'esempio è poco azzeccato, ma ho usato un quadrato di lato $ $3x $ per inscriverci dentro il quadrato di area $ $5x^2 $.

Piccola variante:

e se, usando il compasso, volessi costruirmi uno spicchio di area $ $x^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right) $?

Prendo il triangolo isoscele rettangolo ABC (retto in B) con i cateti lunghi x
Punto in B con ampiezza (cioè il raggio) x e disegno la circonferenza $ \Gamma $
La figura mistilinea (la parte più piccola) che viene delimitata in $ \Gamma $ dai punti A e C ha l'area $ \frac{\pi x^2}{4}-\frac{x^2}{2}=x^2*(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}) $

Ok

@Egl scusami, pensavo che prendessi come quadrato iniziale quello con il lato 3x... non avevo capito io, nulla da obiettare allora