Ho provato a farlo, ma senza ovviamente ottenere risultati decenti.
Mi affido a voi :
Dati $ a_{1}=3 $, $ b_{1}=4 $, e sapendo che $ a_{n}=3^{a_{n-1}} $ e $ b_{n}=4^{b_{n-1}} $ per $ n>1 $, dimostrare che $ a_{1000}>b_{999} $
p.s. spero di non avere sbagliato sezione
EDIT: ma_go
Disuguaglianza
no, la sezione è quella giusta: ho modificato il tuo messaggio per correggere il TeX.
come nota generale, non mettere tutto in codice: è faticoso, viene male ed appesantisce il tutto.. anzi, tendenzialmente prova ad usare meno codice che puoi (per questioni di comodità e leggibilità, ed entro certi limiti delle stesse...). ad esempio: n>1 lo potevo tranquillamente lasciare così com'è, senza TeXXarlo, ma se ci sono tante somme/pedici/apici meglio usare il TeX, visto che c'è..
come nota generale, non mettere tutto in codice: è faticoso, viene male ed appesantisce il tutto.. anzi, tendenzialmente prova ad usare meno codice che puoi (per questioni di comodità e leggibilità, ed entro certi limiti delle stesse...). ad esempio: n>1 lo potevo tranquillamente lasciare così com'è, senza TeXXarlo, ma se ci sono tante somme/pedici/apici meglio usare il TeX, visto che c'è..
Vogliamo dimostrare per induzione che $ \displaystyle a_n>2b_{n-1} $.it22 ha scritto:Dati $ a_{1}=3 $, $ b_{1}=4 $, e sapendo che $ a_{n}=3^{a_{n-1}} $ e $ b_{n}=4^{b_{n-1}} $ per $ n>1 $, dimostrare che $ a_{1000}>b_{999} $
Passo base: $ \displaystyle a_2=3^3 $ e $ \displaystyle b_1=4 $ $ \displaystyle \Longrightarrow 27>8 $. Vera.
Passo induttivo: $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}\Longrightarrow a_{n+1}>2b_n $.
$ \displaystyle 3^{a_n}>2\cdot 4^{b_{n-1}}=2^{2b_{n-1}+1}\Longrightarrow $$ \displaystyle a_n\log 3 >(2b_{n-1}+1)\log 2\Longrightarrow a_n >\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1) $.
Quest'ultima è vera perché $ \displaystyle 2b_{n-1}>\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1)\Longrightarrow b_{n-1}>\frac{\log 2}{2\log 3 - 2 \log 2}<1 $ (ogni $ $b_{i}>b_{1}=4$ $), cioè $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}>\frac{\log 2}{\log 3}(2b_{n-1}+1) $ e quindi anche il passo induttivo è vero.
Per concludere $ \displaystyle a_n>2b_{n-1}>b_{n-1} $.
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Il passo induttivo senza logaritmi e cose strane:
$ $a_{n+1} = 3^{a_n} > 3^{2b_{n-1}} = 9^{b_{n-1}} > 8^{b_{n-1}} = 2^{b_{n-1}}\cdot 4^{b_{n-1}} > 2\cdot 4^{b_{n-1}} = 2b_n $.
$ $a_{n+1} = 3^{a_n} > 3^{2b_{n-1}} = 9^{b_{n-1}} > 8^{b_{n-1}} = 2^{b_{n-1}}\cdot 4^{b_{n-1}} > 2\cdot 4^{b_{n-1}} = 2b_n $.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]