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È possibile determinare la funzione generatrice di una successione nonlineare del tipo

$ \begin{cases} a_0 = 0 \\ a_{n+1} = (a_n)^2 + 1 \end{cases} $

?

La tua richiesta non è molto chiara.
Ovviamente ogni successione di numeri complessi definisce un elemento di $ \mathbb{C}[[x]] $, quindi anche il tuo esempio ha una funzione generatrice.
Ha senso chiedersi se la serie è una serie di potenze convergente; questo dipende da quanto in fretta crescono i coefficienti, nel tuo esempio la risposta è no.

Quanto poi a "determinare", dipende cosa intendi.
Nel caso di relazioni per ricorrenza lineari è algoritmico esprimere la funzione generatrice come funzione razionale della variabile; in generale è plausibile arrivare a equazioni differenziali o equazioni funzionali più complicate che sono soddisfatte dalla funzione generatrice, ma non è detto che la funzione generatrice che cerchi sia esprimibile in termini di funzioni elementari.

FrancescoVeneziano ha scritto:La tua richiesta non è molto chiara.

Ok, provo a rimediare. Intendevo chiedere se

Esiste una "power series" il cui coefficiente di grado "n" sia l'n-esimo termine della sequenza? Ad esempio l'espansione in serie di x/(1-x-x²) per la successione di Fibonacci.

FrancescoVeneziano ha scritto:Ha senso chiedersi se la serie è una serie di potenze convergente; questo dipende da quanto in fretta crescono i coefficienti, nel tuo esempio la risposta è no.

Se ho capito la risposta [EDIT: ok, no; non ho capito nemmeno la domanda ]

Haile ha scritto: Intendevo chiedere se
Esiste una "power series" il cui coefficiente di grado "n" sia l'n-esimo termine della sequenza?

Esiste un numero di 2 cifre decimali che inizia per 3 e finisce per 7? (cit.)

Mmh, il problema non è se esiste, ma se ha un'espressione semplice.

Una serie di potenze formale ovviamente esiste sempre, e può essere convergente o non esserlo.
Nel caso del tuo esempio non è una serie convergente perché i coefficienti crescono troppo in fretta.
In ogni caso, anche se fosse una serie di potenze convergente non è affatto detto che questa funzione si possa esprimere in termini di funzioni elementari, come accade per le ricorrenze lineari.

pic88 ha scritto:

Haile ha scritto: Intendevo chiedere se
Esiste una "power series" il cui coefficiente di grado "n" sia l'n-esimo termine della sequenza?

Esiste un numero di 2 cifre decimali che inizia per 3 e finisce per 7? (cit.)

Non era proprio così la citazione, ma era "trovare".
Comunque sono onorato.

FrancescoVeneziano ha scritto:Mmh, il problema non è se esiste, ma se ha un'espressione semplice.

Una serie di potenze formale ovviamente esiste sempre, e può essere convergente o non esserlo.
Nel caso del tuo esempio non è una serie convergente perché i coefficienti crescono troppo in fretta.
In ogni caso, anche se fosse una serie di potenze convergente non è affatto detto che questa funzione si possa esprimere in termini di funzioni elementari, come accade per le ricorrenze lineari.

Ok, thanks.