OliForum Matematico

Innanzitutto buonasera a tutti...

Stavo guardando alcuni video del training olimpico di Massimo Gobbino quando, sentendomi finalmente pronto, mi son deciso ad iniziare a guardare i video delle lezioni di uno stage basic senior (2007).

Stavo guardando il video di Federico Poloni sulle congruenze, quando mi sono accorto che stavo perdendo i pezzi. L'autore, infatti, mettendosi a cercare tutti i possibili massimi comuni divisori tra $ x-y $ e $ x^2 +xy +y^2 $, da un certo punto in poi mi manda in confusione .

Fino a quando riconduce il problema a trovare $ (x-y,3xy) $ capisco tutto ( o almeno mi sembra, applica semplicemente una "proprietà" del massimo comune divisore....), ma poi ? Da dove tira fuori quei casi ? Qualcuno mi spiegherebbe il problema perfavore, mostrandomi magari "al rallentatore" come si "risolvono" tali tipi di problemi, che non lo capisco molto bene da come lo spiega lui...

minima.distanza ha scritto:Stavo guardando il video di Federico Poloni sulle congruenze, quando mi sono accorto che stavo perdendo i pezzi.

E' un modo gentile per dire che ti sono cascate le palle?
No no, ok.

Comunque, al solito, un link al video come minimo non guasterebbe.
Nessuno ha voglia di andare a scartabellare tra i vari video, e cercare il punto giusto nel video.

Uhm, tranquillo, molto probabile che sia l'autore ad aver fatto casino.
Mi sembra di ricordare che avevo scelto quell'esercizio qualche minuto prima della lezione per illustrare un paio di tecniche (il passaggio x^2+xy+x^2 -> 3xy, e come poi scartare i fattori di quelli che tra poche righe chiamerò a e b), ma poi mi sono reso conto "in diretta" che non veniva immediatamente utilizzando solo quelle. Per far tornare tutto ammodino avrei probabilmente dovuto aggiungere l'ipotesi mcd(x,y)=1. Così l'esercizio si fa, ma è più complicato di quanto avevo pianificato. In ogni caso spero di avere spiegato decentemente le due tecniche, che erano la cosa importante...

Provo a svolgerlo per bene ora --- sperando di non rifare casino...
-nota che se d=mcd(x,y), allora d divide il tuo mcd. Possiamo quindi "semplificare una d" ponendo x=da, y=db, con stavolta mcd(a,b)=1. Il problema diventa quindi trovare d*mcd(a-b,3dab) (occhio alla d che rimane).
-ci serve quindi trovare i fattori "non banali" che può avere g:=mcd(a-b,3dab). Dove vanno cercati? O tra i divisori di a, o tra quelli di b, o tra quelli di 3d.
-se p|a e p|g, allora dev'essere anche p|b (perché?), e questo va contro l'ipotesi che a e b fossero primi tra loro
-restano i primi che dividono 3d. C'è ancora qualcosa che possiamo scartare, o può in generale succedere che tutti i divisori di 3d siano anche fattori di g? Risposta: in generale puoi beccarli tutti -- è possibile trovare esempi in cui quel divisore è un qualunque fattore di 3d (come? possiamo scegliere indipendentemente d, a e b, con l'unico vincolo che a e b siano primi tra loro. Quindi, fissati d e g, basta scegliere b=un primo enorme, e a in modo che b-a=g)
-quindi in generale quell'mcd può essere un qualunque numero w tale che $ d \mid w \mid 3d^2 $.

Ditemi se ora torna...

[EDIT: oops, tardi! ]

Ok, con immane sforzo ho trovato video e problema incriminato.

Mi sa che la confusione nasce perché ad un certo punto si incarta e cambia le ipotesi. Credo che ripulendolo e riordinandolo, si possa riassumere così:

risolvere $ $x^3-y^3 = 2^{27}\cdot 3^{15} $, dove $ $x $ e $ $y $ sono interi coprimi.

Quindi $ $(x-y)\left(x^2+xy+y^2\right)=2^{27}\cdot 3^{15} $. I $ $2 $ e i $ $3 $ si possono distribuire a piacimento tra i due fattori a sinistra? A priori no, perché sono legati da $ $x $ e $ $y $. Calcoliamo il MCD dei due fattori.

$ $\left(x-y,\ x^2+xy+y^2\right) = (x-y,\ 3xy)\ |\ (x-y,\ 3)\cdot (x-y,\ x)\cdot (x-y,\ y) = (x-y,\ 3)\ |\ 3 $.

Nel passaggio centrale ho usato il fatto generale che $ $(a,bc)\ |\ (a,b)\cdot (a,c) $, che puoi facilmente dimostrare.

Quindi il MCD dei due fattori deve dividere $ $3 $, ovvero può essere solo $ $1 $ o $ $3 $. Vale a dire che uno dei due fattori non avrà alcun $ $2 $, ed uno dei due fattori avrà al più un $ $3 $.

Per concludere il problema basta allora esaminare tutti i casi, che sono solo 8 (i fattori negativi non vanno considerati perché $ $x-y>0 $).

Perfetto ! Mi sembra di aver capito...

@fph: Bel video !

se p|a e p|g, allora dev'essere anche p|b

Questo succede per lo stesso motivo per cui si possoo "abbassare" i numeri in $ 2x^2 +3y^2 = 1998 $ o mi cnfondo ? è la stessa cosa applicata ai massimi comuni divisori...

@tibor gallai:
Scusa, me ne ero dimenticato del link...
Capisco tutto ( o almeno, credo di capire ) fino all'ultimo passaggio... da dove tiro fuori tutti gli otto casi ? cioè... col tuo metodo io tiro fuori delle condizioni entro cui devono stare quei fattori, ma come faccio poi ? Non capisco... ( io, se non l'avessi visto risolvere in questo modo, avrei impstato il sistema notando che $ x-y = 2*3^{n} $( con n che varia tra 0 e 15) e $ x^2 +xy +y^2 = 3^{15-n} $... Mi rendo conto che ciò è contosissimo, ma avrei fatto male ? sembra di sì... Tibor parla di 8 casi, io me ne devo fare 15 qualcuno mi spiega eprchè non va bene ?)

Tibor Gallai ha scritto:il MCD dei due fattori deve dividere $ $3 $, ovvero può essere solo $ $1 $ o $ $3 $.

Tibor Gallai ha scritto:i fattori negativi non vanno considerati perché $ $x-y>0 $

$ $\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} x-y=1\\ x^2+xy+y^2=2^{27}\cdot 3^{15} \end{array} \right. & \left\{ \begin{array}{l} x-y=3\\ x^2+xy+y^2=2^{27}\cdot 3^{14} \end{array} \right. \\ \noalign{\bigskip} \left\{ \begin{array}{l} x-y=2^{27}\\ x^2+xy+y^2=3^{15} \end{array} \right. & \left\{ \begin{array}{l} x-y=2^{27}\cdot 3\\ x^2+xy+y^2=3^{14} \end{array} \right. \end{array} $

$ $\begin{array}{ll}\left\{ \begin{array}{l} x-y=3^{14}\\ x^2+xy+y^2=2^{27}\cdot 3 \end{array} \right. & \ \ \,\left\{ \begin{array}{l} x-y=3^{15}\\ x^2+xy+y^2=2^{27} \end{array} \right. \\ \noalign{\bigskip} \left\{ \begin{array}{l} x-y=2^{27}\cdot 3^{14}\\ x^2+xy+y^2=3 \end{array} \right. & \ \ \,\left\{ \begin{array}{l} x-y=2^{27}\cdot 3^{15}\\ x^2+xy+y^2=1 \end{array} \right. \end{array} $

ah non me ne ero accorto....
è fantastico insomma ! il procedimento di prima serve solo per escludere a priori dei casi quindi...

è fantastico !

Bellissimo, grazie mille, posso andare avanti a guardare il video di fph ora...

minima.distanza ha scritto:Bellissimo, grazie mille, posso andare avanti a guardare il video di fph ora...

Sì, però prima ripulisci la tastiera da tutta quella bava...

minima.distanza ha scritto:@fph: Bel video !

Nah, mica tanto, come hai fatto notare tu mi incasino e non ci si capisce una mazza. Non ti sentire in dovere di complimentarti.

se p|a e p|g, allora dev'essere anche p|b

Questo succede per lo stesso motivo per cui si possoo "abbassare" i numeri in $ 2x^2 +3y^2 = 1998 $ o mi cnfondo ? è la stessa cosa applicata ai massimi comuni divisori...

Sì, la ragione è la stessa. Hai g|a-b, quindi p|a-b per transitività. Poiché hai anche p|a, sottraendo i due membri di destra trovi p|b.

I: Non ti ho fatto notare io che ti incasini ( anche se in parte è vero)
II: il fatto che ti incasini e che un è uno stimolo per non soribre passivamente il video come una macchinetta...

Sì, vogliamo poi aggiungere che la scelta del $ $2^{27}\cdot 3^{15} $ è particolarmente infelice, perché si tratta di un cubo? (vedi Ultimo Teorema di Fermat...)

Ma se si tralasciano tutte le cose tipo $ $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n} $, la lezione sembra molto ben fatta!

Basta notare la differenza tra $ n $ e $ \phantom{}_n $, che mi sembra evidente ...

Ah, quindi basta porre $ $n \neq \phantom{}_n = \phantom{}^{\phantom{}_n} $. Tutto chiaro.

Tibor Gallai ha scritto:
$ (x-y,\ 3xy)\ |\ (x-y,\ 3)\cdot (x-y,\ x)\cdot (x-y,\ y) = (x-y,\ 3)\ |\ 3 $.

.

perchè è uguale al MCD tra (x-y,3) e perchè divide 3?

Per ipotesi sai che (x,y)=1, quindi puoi dire che (x-y,y)=(x,y)=1, (x-y,x)=(-y,x)=1 e da questo segue che (x-y,3)(x-y,y)(x-y,x)=(x-y,3). Ma se d è il massimo comun divisore tra x-y e 3, per definizione d|x-y e d|3