OliForum Matematico

Scommetto la risolverete subito.. o addirittura è già postata e non lo so

Dimostrare che

x^4+x^3 y + y^3 x + y^4 = 0

ha infinite soluzioni intere.

(Scusate l'assenza del LaTeX)

Aspetta... è questa?

$ ~ x^4 + yx^3 + xy^3 + y^4 = 0 $

È semplice vedere che (k, -k) è soluzione.

Esattamente

Visto che è molto semplice, dimostrate anche che (k, -k) al variare di k tra gli interi sono tutte e sole le soluzioni intere.

Basta vedere che $ x^4+yx^3+xy^3+y^4=x^3(x+y)+y^3(x+y)=(x+y)(x^3+y^3) $ e quindi $ (x+y)(x^3+y^3)=0 $.
Dunque o x+y=0 da cui x=-y, o $ x^3+y^3=0 $ da cui x=-y e questo anche per quanto riguarda gli interi...anche questo mi sembra semplice