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Si consideri il primo quadrante del piano cartesiano e lo quadrettiamo in modo che i quadretti abbiano lato 1. Dire se è possibile colorare di nero alcuni quadratini in modo che queste proprietà siano verificate:
-per ogni n naturale il quadrato con vertice sull'origine (con i lati paralleli agli assi) e di lato n ha un numero di quadretti neri superiore a quelli bianchi;
-su ogni retta infinita parallela alla bisettrice del quadrante e che passa per i vertici dei quadretti ci sono al più un numero finito di quadretti neri.

Buon lavoro!!

Penso di aver trovato una possibile soluzione...
Coloro di nero il quadretto che ha due lati sugli assi e noto che per ogni successivo quadrato grande si aggiunge una cornice di 2n piu 1 quadretti dove n è il lato del quadrato precedente. Di questi coloro il quadretto d'angolo e a due a due i quadretti ad esso adiacenti sulla cornice fino a che i quadretti neri sono piu di metà della cornice. Siccome il quadrato di lato 1 è tutto nero e ad ogni nuovo quadrato coloro una parte che è piu della metà di quella che aggiungo, ogni quadrato conterrà un numero di quadretti neri maggiore di quelli bianchi.
In questa colorazione ogni riga e ogni colonna (per simmetria) contiene alternatamente 2 o 1 quadretti in piu della precedente quindi il loro numero è sempre finito
spero sia chiaro e aspetto conferme

Non ho ben capito, ma da quello che ho compreso con questa disposizione sono finiti i quadretti sulle righe e colonne, mentre il problema chiede che siano finiti i quadretti su tutte le rette parallele alla bisettrice del quadrante che passano per i vertici dei quadretti, quindi per intenderci le diagonali
Puoi chiarirti, magari allegando un disegno?

Scusa tanto errore mio ho frainteso il testo come al solito quindi è inutile allegare un disegno di una soluzione sbagliata...
grazie per avermi corretto vedrò cosa riesco a fare adesso

Penso che potrebbe funzionare se, numerando le diagonali in entrambe le direzioni a partire dalla bisettrice del quadrante, sull'ennesima diagonale si colorassero i primi n quadretti a partire dall'asse. Così ogni diagonale ha sicuramente un numero finito di quadretti neri. Inoltre ogni quadrato ha più quadretti neri che bianchi perchè su ogni cornice che aggiungo quando aumento di 1 il lato del quadrato grande i quadretti neri sono più della metà.

Ok ci siamo Più generalmente è possibile applicare la stessa cosa che hai fatto tu con n+k, dove k è una costante intera nonnegativa.
Si nota che, con quest'ultimo metodo, il limite del lato n tendente a infinito fa in modo che esattamente la metà delle caselle del quadrato siano nere (come si vede nel disegno), ma se prendiamo un qualunque n numerico il numero sarà strettamente maggiore.