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Si determinino i valori del parametro a per cui l'equazione
x^3-x+a = 0
ha tre radici intere.

Problema di ammissione al Sant'anna per ingegneria.. Vi dico la mia soluzione che non mi convince più di tanto.


Riscrivo l'equazione:

x(x+1)(x-1)=-a

Perchè abbia 3 radici intere, significa che , con a costante, ci devono essere 3 valori interi distinti di x per cui x(x+1)(x-1) è sempre uguale a "-a". (non sono sicurissimo di questa affermazione, ditemi se ha un senso).

Detto questo, noto che x,x+1 e x-1 devono essere interi consecutivi.
Ma non esistono tre terne di interi consecutivi tali che, moltiplicando tra loro i 3 elementi di ogni terna, otteniamo sempre lo stesso risultato: A MENO CHE o x,o x-1,o x+1 non siano uguali a 0. In ognuno di questi 3 casi avremmo un prodotto che vale 0.

Quindi a=0 è l'unico parametro per cui x^3-x+a=0 abbia 3 radici intere. (che sono -1,0,1)

Aspetto smentite xD

Soluzione da "maturità". Studiamo la cubica:
$ f(x)=x^3-x+a $
la sua derivata prima $ f'(x)=3x^2-1 $ si annulla in $ \pm1/\sqrt{3} $, che sono un massimo (-) ed un minimo (+).
Ora $ f(\pm1/\sqrt{3})=a\mp2/\sqrt{27} $ e, affinché l'equazione abbia più di una soluzione (reale) tali valori devono essere discordi, quindi il massimo deve essere positivo e il minimo negativo, dunque
$ a+2/3\sqrt{3}\geq 0 $
$ a-2/3\sqrt{3}\leq 0 $
quindi riassumendo
$ |a|\leq 2/3\sqrt{3} $.

Del resto, un polinomio monico ha tre radici intere solo se ha coefficienti interi. L'unico intero che soddisfa simili limitazioni di modulo è 0, quindi a=0.

altra soluzione:
$ s=x_1+x_2+x_3=0, q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-1, p=x_1x_2x_3=a $
$ x_1^2+x_2^2+x_3^2=s^2-2p=2 $
Ma un quadrato di un numero non nullo è almeno 1, quindi $ \exists x_i=0 $ -> a=0

Grazie delle soluzioni alternative, molto più carine! Scusate ma non sono abituato a scrivere dimostrazioni perchè sono di un liceo classico e su questo tipo di matematica devo quindi allenarmi da solo :S
Ma la mia può essere considerata corretta? Ci sono "falle" logiche?

il fatto che dica "tre radici intere" implica che esse debbano essere distinte o no? in caso contrario avremmo infinite soluzioni....

EvaristeG ha scritto:Soluzione da "maturità". Studiamo la cubica:
$ f(x)=x^3-x+a $
la sua derivata prima $ f'(x)=3x^2-1 $ si annulla in $ \pm1/\sqrt{3} $, che sono un massimo (-) ed un minimo (+).
Ora $ f(\pm1/\sqrt{3})=a\mp2/\sqrt{27} $ e, affinché l'equazione abbia più di una soluzione (reale) tali valori devono essere discordi, quindi il massimo deve essere positivo e il minimo negativo, dunque
$ a+2/3\sqrt{3}\geq 0 $
$ a-2/3\sqrt{3}\leq 0 $
quindi riassumendo
$ |a|\leq 2/3\sqrt{3} $.

Del resto, un polinomio monico ha tre radici intere solo se ha coefficienti interi. L'unico intero che soddisfa simili limitazioni di modulo è 0, quindi a=0.

Perfetto ma non si può trovare l'intervallo di esistenza dell'equazione e usare il teorema di Bolzano per le radici reali?