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Determinare tutte le terne (x, y, p) con p primo e x, y interi positivi che verificano l'equazione $ p^x-y^p=1 $

provo io..ma ho qualche dubbio:

noto che y deve essere pari.
p sarà anche dispari poichè è primo,nel caso in cui p=2 ho come terna (1,1,2)
ora divido in due casi:
1)x=2k
2)x è dispari

caso 1,riscrivo l'eq iniziale come
$ (p^k-1)(p^k+1)=y^p $
che fornisce come unica soluzione y=2,p=3 e k=1
che sinceramente non so spiegare perchè è l'unica ma non credo esistano altri valori per cui posso avere nel RHS un numero pari elevato ad un esponente dispari

caso 2,riscrivo l'eq iniziale come:
$ (p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}....+1)=y^p $
e anche questo dovrebbe essere impossibile perchè p-1 è pari mentre l'altro fattore è dispari,per avere soluzione dovrei avere in p-1 un numero pari elevato a un esponente dispari e nell'altro prodotto un numero dispari sempre elevato a un esponente dispari.ma credo non ci siano soluzioni..

probabilmente ci saranno degli errori,quindi per favore correggetemi

Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo

grazie!come mi consigli di sistemarlo?

Euler ha scritto:Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo

cioè, no comment

Maioc92 ha scritto:

Euler ha scritto:Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo

cioè, no comment

ok non sono in grado di scrivere una dimostrazione,non mi sembra di aver detto "ehi guarda che figo ho risolto l'esercizio",ho chiesto anzi di aiutare a correggermi e anche di farmi capire come va scritto e come si dimostrano cose che per me "si vedono"

danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?

Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...

il mio messaggio era per Euler che ha commentato una soluzione di valore praticamente nullo con "quasi tutto ok". Cioè, il caso 1 ti sembra ok? Questa non è una dimostrazione, al massimo può essere un insieme di congetture da cui partire

Sì in effetti bisognava dire un po' di cose che pensavo fossero scontate per danielf, ma ora che l'ho riletto mi sono accorto della frase "...che sinceramente non so spiegare..."...anche quello andrebbe aggiustato, ad esempio osservando che la differenza dei due fattori è 2, da cui si verifica facilmente che p=3

C'è una strada partendo da $ y\equiv -1 \pmod p $?

Euler ha scritto:

danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?

Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...

potresti intanto postare la tua soluzione?

Euler ha scritto:Determinare tutte le terne (x, y, p) con p primo e x, y interi positivi che verificano l'equazione $ p^x-y^p=1 $

Se $ x=1 $ e $ y\ge 2 $ allora $ y^p+1>2^p>p $, altrimenti $ y=1 $ e otteniamo $ (x,y,p)=(1,1,2) $ soluzione.

Se $ p=2 $ è un fatto noto che $ y^2+1 $ non è una potenza $ n $-esima, per qualche $ n>1 $. Per il seguito supponiamo $ p\ge 3 $.

Se $ x=2 $ allora abbiamo $ p^2=(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1) $ per cui deve risultare $ p=y+1=(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1)\ge y^{p-2}(y-1)+1 \ge y+1=p $ con uguaglianza se e solo se $ p=3 $ e $ y=2 $; abbiamo ottenuto l'ultima soluzione accettabile $ (x,y,p)=(2,2,3) $.

Se $ x> 2 $ allora $ x=\upsilon_p(p^x)=\upsilon_p(y^p+1)=\upsilon_p(y+1)+\upsilon_p(p)=\upsilon_p(y+1)+1 $, cioè $ \upsilon_p(y+1)=x-1 $. Questo significa che $ p^x=y^p+1^p\ge (p^{x-1}-1)^p+1> p^{p(x-2)} $ $ \implies \frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}>p $, che è falso per ogni $ p\ge 3 $.[]

Domanda... Non si può dare come fatto noto che le uniche due potenze, con basi ed esponenti diversi da 1, che hanno differenza 1 sono 3² e 2³? Dovrebbe essere risaputo...

Dimostralo allora..

Ok, dimostrarlo è leggermente al di sopra delle mie capacità, ma ricorrere a Wiki no. XD

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Mih%C4%83ilescu