OliForum Matematico

(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $

La tesi è tovare tutti gli N tali che $ 2^N \equiv -1 (mod N^2) $. Si nota che N deve essere dispari e quindi N e 2 sono coprimi; da ciò, per il Piccolo Teorema di Fermat, ottengo che $ 2^N \equiv 2(mod N) $ e quindi l'unico caso possibile in cui $ 2^N \equiv 2(mod N) $ e $ 2^N \equiv -1 (mod N) $ è per N=3, che si verifica facilmente.

Fermat vale solo per i primi

Cavolo è vero, confusione mentale tra "primi" e "coprimi"

Che poi c'è sempre la soluzione N=1

Sì infatti, ho solo dimostrato che se N è primo, allora va bene solo 3...una speranza potrebbe essere di dimostrare che se N non è primo, cioè è divisibile per qualcosa (escludendo il caso di N=1) allora è impossibile, appena ho tempo ci lavoro su

giusto una curiosità: mi sto interessando solo da poco alla teoria dei numeri e mi sono chiesto perché sei passato da $ 2^N \equiv -1 \pmod{N^2} $ a $ 2^N \equiv -1 \pmod{N} $. (la differenza è il modulo $ N^2 $ e il modulo $ N $).

È sempre lecito fare ciò?

Beh se un numero $ $x $ è divisibile per $ $n^2 $è divisibile anche per $ $n $, quindi un numero $ $x+a $ è conguro ad $ $a $sia modulo $ $n^2 $ sia modulo n, ma quella a non è congruo allo stesso valore per entrambi i moduli non so se mi sono spiegato.

sei stato abbastanza chiaro, grazie

Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1

karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $

karlosson_sul_tetto ha scritto:

Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1

karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $

L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.

Claudio. ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto:

Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1

karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $

L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.

Oops...
Mi scuso...

Claudio. ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto:

Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1

karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $

L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.

No, perchè nel mio ragionamento consideravo solo i primi, e 1 non è un primo.

Ma l'errore era proprio quello tu hai sbagliato perchè hai applicato il teorema ai coprimi che in realtà vale solo per i primi, comunque qualsiasi cosa hai fatto per risolvere il problema se non escludi l'1 e non lo trovi come soluzione, o hai saltato qualche caso o hai sbagliato, comunque basta stiamo riempendo il topic di post inutili.