Costruzione di un ponte

[Euler]

Da un test di ammissione alla sns:
Per costruire un ponte con n arcate e n-1 piloni si spendono $ 18s^2 $ miliardi di lire (o euro, come preferite ) per ogni arcata, dove s è la distanza in Km tra i 2 piloni di sostegno di quell'arcata, e mezzo miliardo per ogni pilone.
Se il ponte deve essere lungo 3 Km, quale sarà il costo minimo dell'opera?

[SalvoLoki]

Provo a risolverlo io.

Bisogna innanzitutto trovare una certa relazione tra N e S, cosa che si fa facilmente dando certi valori di N (che naturalmente dovrà essere naturale, mai visto un ponte con 2 pilastri e mezzo xD).

N=1 -> S= 3 km
N=2 -> S= 1,5 Km = 3/2 Km
N=3 -> S= 1 Km = 3/3 Km ...

E così via... S= 3/N.

Il costo del lavoro sarà perciò : N [18 x (3/N)^2] + 1/2 (N-1), che diventa ---> 162/N + 1/2 N - 1/2.

Calcolando la derivata prima e studiandone il segno possiamo trovare il valore minimo di N.

La derivata prima sarà: -162/(N^2) + 1/2; il valore che annulla tale derivata è N=18, che pertanto sarà anche il valore di N per cui il costo sarà minimo (17,5 miliardi di lire/euro/franchi svizzeri ecc ecc).

[Euler]

Va bene, però se non sbaglio non hai dimostrato che le arcate devono essere tutte uguali, anche se è una cosa quasi scontata...
E poi la formula sarebbe $ s=\frac{3}{n+1} $
Edit: forse con N intendevi il numero di arcate, anche se dal testo sembrava il numero di pilastri...se è la prima possibilità allora va bene

[Euler]

mi sono accorto che ero stato io a definire n...pardon

[SalvoLoki]

No problem

Però mi sembrava ovvio, immagina un'arcata di 2 Km che costa 18s^2miliardi e un'altra di 50 m che costa sempre 18s^2 miliardi

[Euler]

Forse mi sono spiegato male, s è la lunghezza dell'arcata in questione...

[SalvoLoki]

Scusa non ci avevo pensato

[SalvoLoki]

Ok, penso di aver capito:

Prendiamo in considerazione che:
1) esista una sorta di "arcata standard" --> S= 3/N (il costo complessivo delle arcate sarà 18n S^2)
2) le arcate non siano tutte della stessa misura.

Queste arcate saranno perciò nella forma S+k (k ovviamente può essere anche negativo); avremo perciò l'intero ponte formato da (S+k1)+(S+k2)+(S+k3)+...+(S+kn)= 3 Km (A); per le nostre ipotesi, k1+k2+k3+...+kn=0 (B).

Sviluppando la (A), avremo : nS+k1+k2+k3+..+kn ; il costo complessivo delle arcate sarà dunque: 18 [(s+k1)^2+(s+k2)^2+(s+k3)^2+..+(s+kn)^2], che per far sì che sia minimo deve essere uguale al costo delle arcate della stessa misura (18 n S^2) .

Quindi: 18n S^2 + 18 [k1^2+k2^2+k3^2+..+kn^2 + 2S(k1+k2+k3+..+kn)] = 18n S^2
da cui deriva
k1^2+k2^2+k3^2+..+kn^2 +2S(ka1+k2+k3+..+kn)= 0 ;

Ma dalla (B) deriva che : k1^2+k2^2+k3^2+..+kn^2= 0 , il che è possibile solo se k1=k2=k3=..=kn=0.

Scusate se è scritto senza LaTeX e se è contorto come ragionamento..

[EvaristeG]

Sviluppando la (A), avremo : nS+k1+k2+k3+..+kn ; il costo complessivo delle arcate sarà dunque: 18 [(s+k1)^2+(s+k2)^2+(s+k3)^2+..+(s+kn)^2], che per far sì che sia minimo deve essere uguale al costo delle arcate della stessa misura (18 n S^2) .

Perché?

[SalvoLoki]

Posso fare un esempio molto simile... n^2 < (n-1)(n+1) ponendo n=S e k=1 (ma potrebbero anche essere più termini e k differenti, non cambia niente ) si capisce che il minimo deve essere proprio il costo di n arcate "standard"

[Euler]

Però tu hai dimostrato che l'unica configurazione dei k affinchè il prezzo totale sia uguale a quello di tutte le arcate uguali è per tutti i k uguali a 0, mentre bisogna dimostrare che questa configurazione sia la minore.
Ad esempio un metodo è questo: sai che il prezzo p in miliardi è uguale a $ 18(s_1^2+s_2^2+...+s_n^2)+\frac{1}{2}(n-1) $. Per minimizzare la somma di quadrati uso il QM-AM, cioè
$ $\sqrt{\frac{s_1^2+s_2^2+...+s_n^2}{n}}\geq \frac{3}{n} $
$ $s_1^2+s_2^2+...+s_n^2\geq 3n $
da cui, tenendo n costante, la si ha l'uguaglianza se e solo se tutti gli s sono uguali, ed essendo il membro a destra costante, l'uguaglianza si ha con la configurazione minima.
Edit: non avevo visto l'ultimo messaggio...comunque la dimostrazione penso che andrebbe un po' lavorata (senza criticare )

[SalvoLoki]

Figurati lo so che devo migliorare nello scrivere una dimostrazione ma intanto, a modo mio ho risolto xD

[EvaristeG]

Posso fare un esempio molto simile... n^2 < (n-1)(n+1) ponendo n=S e k=1 (ma potrebbero anche essere più termini e k differenti, non cambia niente ) si capisce che il minimo deve essere proprio il costo di n arcate "standard"

Vedi, il punto è questo: che si capisca, siamo d'accordo tutti, forse, ma il problema è dimostrarlo. Non serve fare un esempio, bisogna fare una dimostrazione. Nel nostro caso, la dimostrazione è quella di Euler, con le medie.