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Mostrare che per ogni $ \displaystyle~x\in\mathbb{N}_0 $ esistono infiniti primi $ \displaystyle~p $ tali che nessun numero tra $ \displaystyle~1 $ e $ \displaystyle~x $ è generatore modulo $ \displaystyle~p $.

Idea: scontata, ma chissà se porta alla soluzione: un generatore non è un residuo quadratico

ps. postato da hitleuler se non erro.

ps2. oltre che infiniti, si potrebbe aggiungere che anche la somma dei reciproci di questi diverge

Una dimostrazione un po' cannoneggiante (chi ne conosce una che non usi dirichlet?)

Lemma: se a è residuo quadratico, allora non è generatore
Infatti le potenze di un residuo quadratico sono residui quadratici anch'esse e quindi sono al massimo $ \frac{p-1}2<p-1 $

Sia $ \displaystyle P=\prod_{q\in\mathbb{P}\cap[3,x]}q $. Considero tutti i numeri primi della forma 8kP+1 con k intero. Per il teorema di Dirichlet questi primi sono infiniti. Voglio ora dimostrare che se $ p\equiv1\pmod{8kP} $ allora i numeri da 1 a x sono residui quadratici, che implica la tesi.
Dato che un prodotto di residui quadratici è un residuo, mi basta dimostrare che i primi minori di x sono residui. Che 2 sia residuo quadratico mod $ p\equiv1\pmod8 $ è stato mostrato altrove da kn (non riesco a ritrovare il link).
Sia invece q un primo dispari. $ \left(\frac qp\right)=\left(\frac pq\right)\cdot(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2} $. Ma visto che $ p\equiv1\pmod4 $ e che $ p\equiv1\pmod q $, dato che 1 è residuo quadratico modulo qualsiasi numero, RHS=1 e quindi $ \left(\frac qp\right)=1 $, cioè q è residuo quadratico modulo p. Da questo segue che tutti i numeri tra 1 e x sono residui quadratici modulo p e quindi non sono generatori.

Sì tutto giusto Btw,

Veluca ha scritto:chi ne conosce una che non usi dirichlet?

usi una versione debole di Dirichlet (provata qua usando solo i polinomi ciclotomici; qua un problema di lilceng più forte)

Veluca ha scritto:Che 2 sia residuo quadratico mod $ p\equiv1\pmod8 $ è stato mostrato altrove da kn (non riesco a ritrovare il link).

eccolo

kn ha scritto:... qua un problema di lilceng più forte...

Jordan non scrive più su questo forum.

Ma sono sicuro che prima o poi tornerà. Magari in questo momento sta proprio leggendo questo thread.

lilceng ha scritto:Jordan non scrive più su questo forum.

Si scusa era un lapsus..