Archimede 2010, n. 25 triennio

[fph]

Ci sono 11 giocatori e 11 maglie. I giocatori arrivano in ordine casuale nello spogliatoio e prendono una maglia a caso ciascuno, tranne Danilo che se c'è ancora prende la 8. Qual è la probabilità che Danilo se ne vada con la 8?

Visto che ho sentito qualcuno dire che ha sbagliato i calcoli, vi pongo questa domanda interessante: riuscite a trovare una soluzione di questo problema che richieda il minimo indispensabile di calcoli?

[io.gina93]

sommare la probabilità di prendersi la maglia numero 8 per ogni entrata e dividere per 11... credo...
(11/11 + 10/11 + 9/11 + .......... + 1/11):11= (66/11)/11= 6/11


io non so perchè ma durante la prova mi son sommata i numeri di maglia che poteva scegliere per ogni entrata (11+10+9+8+...+1) diviso i tutti casi possibili 11*11... e non capisco perchè vada bene...

[Euler]

Visto che ho sentito qualcuno dire che ha sbagliato i calcoli

In realtà non ho sbagliato perchè erano particolarmente lunghi, non so perchè invece che fare la formula di gauss per i primi 11 numeri ho fatto 11 su 2

[Valenash]

sommare la probabilità di prendersi la maglia numero 8 per ogni entrata e dividere per 11... credo...
(11/11 + 10/11 + 9/11 + .......... + 1/11):11= (66/11)/11= 6/11


io non so perchè ma durante la prova mi son sommata i numeri di maglia che poteva scegliere per ogni entrata (11+10+9+8+...+1) diviso i tutti casi possibili 11*11... e non capisco perchè vada bene...

O.O quindi bastava fare QUESTA somma?? io avevo iniziato i calcoli che poi non sono riuscito a concludere per mancanza di tempo, ma quello che stava facendo era come idea uguale, ma mi venivano dei calcoli molto + difficili e lunghi.. :S

[fph]

O.O quindi bastava fare QUESTA somma??

Buona soluzione, ma si fa anche con ancora meno conti. Hint: la situazione maglie<->giocatori è simmetrica; a ogni passaggio "estraggo" una maglia e un giocatore a caso e li abbino...

[dario2994]

Testo nascosto:

Numero i giocatori (l'8 è quello che vuole la maglia ... considero le 2 permutazioni di 1,2,3...,11: una rappresenta l'ordine in cui entrano i giocatori, l'altra rappresenta l'ordine in cui vengono prese le maglie (ipoteticamente piazzo a caso anche l'8 e quelle dopo l'8). Quando l'8 prende la sua? Quando nella prima stringa viene prima che nella seconda oppure allo stesso posto:
Probabilità che siano allo stesso posto? 1/11
Probabilità che sia prima? Beh è uguale per simmetria a quella che sia dopo quindi se la chiamo x vale: $x+x+1/11=1\Rightarrow x=5/11$
Quindi il giocatore si piglia la maglia 8 con probabilità $1/11+5/11=6/11$

editato e nascosto visto che è appena uscito l'hint

[Claudio.]

Ogni posizione del ragazzo è equiprobabile, la probabilità è quindi uguale a $ \frac1{11}\cdot $(somma delle probabilità di prendere la maglia). se è primo ad entrare la probabilità è 1, gli altri 10 casi possiamo accoppiarli a due a due con il complementare quindi$ \displaystyle \frac1{11}\cdot 6 $

[noraermejo]

io ho preso la probabilità minima e massima (quando è ultimo e quando è primo) e ho fatto la media, mi spiego:
(1/11+11/11)/2=6/11