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Abbiamo un cerchio di raggio r; vogliamo che due corde parallele dividano il cerchio in tre parti equivalenti. Qual'è la distanza fra queste due corde?

Mi sembra un semplice esercizio di analisi.
Prendo in esame la semicirconferenza di raggio r di equazione $ f(x)=\sqrt{r^2-x^2} $. Devo trovare la corda di altezza k che mi divida l'area della semicirconferenza in due parti una il doppio dell'altra.
Quindi sapendo che l'area della semicirconferenza è $ \frac{\pi \cdot r^2}{2} $ l'area tra l'asse x e k sarà $ \frac{\pi \cdot r^2}{6} $
Faccio l'integrale ( che non svolgo xD) tra $ \sqrt {r^2 - k^2} $ (che è il punto di interesione tra la fuinzione e la retta $ y=k $ ) e r; lo moltiplico per 2, aggiungo l'area del rettangolo di altezza k e base $ 2\sqrt{r^2 - k^2} $. E chiamo quest'area in funzione di k, $ A_1 $; pongo $ A_1 $ uguale a $ \frac{\pi \cdot r^2}{6} $ e ricavo k, la distanza sarà 2k.

C'è un modo di farlo senza scomodare integrali e Co.? Anche perchè qui i conti che non ho svolto non sono proprio simpatici!

un segmento circolare ha area $\frac12 r^2(\theta-\sin\theta)$ con $\theta$ l'angolo al centro che sottende la corda che lo delimita
la distanza tra le 2 corde e' $d=2r\cos\frac\theta2$
il problema e' appunto
$\theta-\sin\theta=\frac23\pi$

Si potrebbe usare lo sviluppo di Taylor...

quello e' un modo per un valore numerico piu' o meno preciso.
ma umanamente poi solo spingerti al terzo grado, poi hai equazioni che non puoi risolvere con carta e penna ma solo numericamente con calcolatori

si può sempre sviluppare il problema partendo dalla base e trovandosi tutto, è solo un po' lungo a livello di equazioni, ma mi pare abbastanza semplice (dovrete però correggere i miei errori)

allora, prima di tutto chiamiamo l la lunghezza della corda, r il raggio, e $ \alpha $ l'angolo al centro che sottende l'arco formato dalla corda (ovviamente quello piccolo)

per trovare l'area sottesa dalla corda basta trovare l'area del settore circolaree sottrargli il triangolino che si forma tra la corda e il centro. quindi abbiamo $ \frac {{\pi}{r^2}{\alpha}}{2{\pi}}-\frac{{r}{\cos{\frac {\alpha}{2}}}{l}}{2} $

l'area invece della parte centrale compresa tra le due corde la posso vedere cme l'area di due settori circolari più l'area dei due triangolini che si formano con le corde. il settore circolare ha l'angolo che è la metà di $ 2\pi $ meno i due angoli dei due settori circolari di prima e quindi abbiamo che l'area della parte centrale è

$ {{r}{l}{\cos{\frac {\alpha}{2}}}} + 2{\frac {{\pi}{r^2}{\frac{2\pi-2\alpha}{2}}}{2\pi}} $

trovata quest'area la si pone uguale all'area di una delle aree sottese alla corda, e da lì si puo tranquillamente isolare l in un paio di passaggi, e si ottiene (salvo errori che magari ho commesso)

$ l=-\frac{2(\pi-\alpha)r-r\alpha}{3\cos{\frac{\alpha}{2}}} $

EDIT: mi sono dimenticato di dire che $ l=2(r{\sin{\frac{\alpha}{2}}}) $ e quindi poi dovete trobvare alpha (cosa non simpatica in quell'equazione!)

P.S. controllate se è giusto che magari qualche errorino ci scappa ogni tanto nei conti

a meno di errori di conto, trovi l'equazione che ha già scritto SkZ: $\theta-\sin\theta=\frac23\pi$.
come già detto, l'equazione non si risolve in modo esatto, ma solo in modo approssimato. e taylor non è una buona idea: molto meglio usare bisezione, o (ancora meglio, probabilmente), newton e una calcolatrice.

A questo punto meglio scomodare l'analisi, di brutto c'è da calcolare solo un integrale lunghino che comunque c'è su tutti i testi scolastici, il resto è fattibile abbastanza rapidamente.