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Un post in MNE mi ha fato venire in mente questo problema.
Un solido ha base un cerchio di raggio $ r=1 $.
Preso $ d $ un diametro qualsiasi si prendano tutti i piani perpendicolari a $ d $.
Di ogni piano si prende la sezione formata da un triangolo equilatero che ha come lato la corda perprendicoalre al diametro. Si calcoli il volume del solido ottenuto.

C'è una soluzione con l'analisi abbastanza scolastica. La mia domanda è: c'è una soluzione senza far uso di analisi? (premetto che non son certo che ci sia)

Cavalieri ?

Allora... detto $ V $ il volume del solido cercato, si ha che $ \frac{V}{\frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(2\cos{\alpha})^2}{\pi(\cos{\alpha}^2)} $ con $ \alpha \in [0,\pi] $ da cui deriva che $ V=\frac{\sqrt{3}3r^3}{2} $

minima.distanza ha scritto:Cavalieri ?

Allora... detto $ V $ il volume del solido cercato, si ha che $ \frac{V}{\frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}(2\cos{\alpha})^2}{\pi(\cos{\alpha}^2)} $ con $ \alpha \in [0,\pi] $ da cui deriva che $ V=\frac{\sqrt{3}3r^3}{2} $

il risultato è sbagliato e se mi spieghi un pochino i passaggi forse ci capisco qualcosa xD

Ehm, niente, ho solo completamente frainteso il significato del principio di cavalieri... pardon, non ha logica quanto ho fatto

amatrix92 ha scritto:Un post in MNE mi ha fato venire in mente questo problema.
Un solido ha base un cerchio di raggio $ r=1 $.
Preso $ d $ un diametro qualsiasi si prendano tutti i piani perpendicolari a $ d $.
Di ogni piano si prende la sezione formata da un triangolo equilatero che ha come lato la corda perprendicoalre al diametro. Si calcoli il volume del solido ottenuto.

C'è una soluzione con l'analisi abbastanza scolastica. La mia domanda è: c'è una soluzione senza far uso di analisi? (premetto che non son certo che ci sia)

mi spieghi cosa significa la parte che ho evidenziato in grassetto? Non riesco a capirla, sembra lo stesso diametro (a patto che passi per il centro)...
comunque a me pare più un cono che una semisfera...

Sì effettivamente forse è più simile a un cono, ma nemmen più di tanto xD dipende dai punti di vista.
Con la parte evidenziata in grassetto intendo che per ogni corda della circonferenza perpendicolare al diametro che io scelgo (a caso) costruisco un triangolo equilatero perpendicolare al piano su cui giace la circonferenza e la lunghezza del lato di questo triangolo è appunto la corda.

uhmm.. A parte integrali, non credo ci sia un modo per farlo, anche perchè il solido ottenuto non so se sia classificabile..