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Ciao a tutti.

Studiando teoria della misura si hanno sempre enunciati del tipo di esaustione cioè ad esempio per ogni boreliano $ E $ di misura finita esistono chiusi $ C_n $ che lo esauriscono nel senso della misura (cioè che $ \mu ( E \setminus C_n ) \to 0 $ ).

Ora mi chiedevo... è vero che per ogni Boreliano $ E $ esistono dei chiusi $ C_n $ (un numero numerabile quindi) tali che $ \bigcup_{i=0}^n = E $ ??
La domanda di per sè dovrebbe avere risosta che è falsa per topologie "esotiche" (ad esempio $ \mathbb{R} $ dove un insieme è chiuso sse è di cardinalità finita o è tutto) ma, per topologie buone (ad esempio spazio Polacco i.e. metrico separabile completo) ??

Ma no ... tu stai chiedendo che ogni boreliano sia $F_\sigma$? Non credo sia vero nemmeno in $\mathbb{R}$ ... ad esempio, prendi $[0,1]\setminus\mathbb{Q}$ ... un numerabile denso in un intervallo chiuso limitato è unione numerabile di chiusi, ma non può essere intersezione numerabile di aperti, per Baire, quindi il suo complementare è intersezinoe numerabile di aperti, ma non può essere unione numerabile di chiusi.