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Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 08:17
da Olivo3
Vi posto la seconda domanda aperta della gara di febbraio: Sia ABC un triangolo equilatero di centro O e area 1. Sia ABC un triangolo equilatero di centro O e area 1. Siano D, E, F i punti simmetrici di O rispetto ai tre lati del triangolo. Quanto vale l'area in comune ai triangoli ABC e DEF ? Quanto vale l'area in comune ai triangoli ABC e DEF ?
Come si fa la figura? Cosa significa: "Sia ABC un triangolo equilatero di centro O e area 1. Siano D, E, F i punti simmetrici di O rispetto ai tre lati del triangolo. Quanto vale l'area in comune ai triangoli ABC e DEF ?"
Grazie!
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 12:17
da io.gina93
sai che il centro O divide l'altezza del triangolo in 2 parti una il doppio dell'altro perchè O è anche baricentro...
i triangolimi che si formano hanno ciascuno area uguale ad $ 1/9 $ rispetto all'area del triangolo ABC perchè la loro altezza è uguale ad 1/3 di quello originale...
visto che i triangolini sono tre, la somma della loro area è di $ {1/9}\cdot{3}=1/3 $ e l'area in comune è $ 1-(1/3)=2/3 $
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 16:58
da Olivo3
Grazie mille.
Ma come hai fatto a tracciare l'altro triangolo? Cosa significa: "Siano D,E, F i punti simmetrici ai tre lati del triangolo"?
perchè la loro altezza è uguale ad 1/3 di quello originale.
Da cosa si deduce che la loro altezza è uguale ad 1/3 del triangolo originale?
sai che il centro O divide l'altezza del triangolo in 2 parti una il doppio dell'altro perchè O è anche baricentro
Non lo sapevo... Dici che mi conviene studiare questo argomento? Se sì, dove?
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 17:56
da io.gina93
Olivo3 ha scritto: Cosa significa: "Siano D,E, F i punti simmetrici ai tre lati del triangolo"?
significa che il lato AB (o BC o BA) deve essere l'asse del segmento di OD (o di OE o di OF), cioè AB deve dividere OD in due parti uguali e deve essere perpendicolare a OD.
perchè la loro altezza è uguale ad 1/3 di quello originale.
perchè il triangolo ABC e DEF sono tutti e due equilateri di area 1
O è il centro sia di ABC che di DEF, ed è anche baricentro quindi divide l'altezza del triangolo in 2 parti una il doppio dell'altro
OF è il raggio del cerchio e vale il doppio di OH, e poichè anche CO è raggio, è uguale a 2 volte OH
per trovare l'altezza del triangolo piccolo, basta fare CO-OH=CH ==> CO=2OH ==> CO-OH=2OH-OH=OH quindi CH è uguale ad OH , e CH è uguale ad 1/3 di CK
ti consiglio di guardarti
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... pobasso_06
il video "CB06_G.AVI" che è uguale a questo pdf
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... CB06_G.PDF mi pare che riassuma 2 anni di geometria scolastica...
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 18:06
da Olivo3
Grazie della preziosa risorsa. Mi consigli di guardarmeli tutti quei video entro febbraio o solo quello che mi hai indicato? Quel video parla anche di circonferenze (che non ho mai studiato in vita mia)?
Toglimi solo l'ultimo dubbio: per costruire l'altro triangolo simmetrico perchè è necessaria una circonferenza, e soprattutto, come l'hai costruita?
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 18:35
da io.gina93
la circonferenza non mi pare sia necessaria... era solo per fare giusto il disegno.. ^^
il centro è O e il raggio è OC
edit.. per i video penso che basti quello per la dimostrazione di geometria (a febbraio ci dovrebbe esserne solo 1) ...
poi guardati un video di Teoria dei Numeri, tipo CB06_N...
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 18:40
da Olivo3
OK, grazie
In questo quesito:
La casa di Dante si trova nel punto D ai piedi di una montagna conica con il diametro di base
di 4 km e cima nel punto C. Si sa che D dista da C 4 km in linea retta e che, detto P il punto
diametralmente opposto a D rispetto alla base della montagna, la porta dell’Inferno si trova a 3/4
del segmento CP, pi`u vicino a P. Quale distanza deve percorrere Dante al minimo (camminando
sulle pendici della montagna) per poter raggiungere la porta dell’Inferno da casa sua?
(A) π + 1 km (B) 5 km (C) 2π km (D) 7 km (E) 2π + 1 km.
Cosa significa diametralmente opposto?
Poichè non ho mai studiato nella mia carriere scolastiche le figure solide, non ho le competenze sufficienti per risolvere quesiti di questo genere. Mi consigli di studiarle per la gara di febbraio? Se sì, dove posso reperire qualcosa di semplice da capire?
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 19:19
da io.gina93
B è diametralmente opposto a C
il disegno del problema è questo:
la soluzione dice questo: di tagliare a metà il cono ed ottenere l'angolo DCP=90° e di risolvere con pitagora!!
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 19:28
da Olivo3
Grazie!
Poichè non ho mai studiato nella mia carriere scolastiche le figure solide, anche se ho adesso capito questo problema, non ho le competenze sufficienti per risolvere eventuali quesiti di questo genere. Mi consigli di studiarle per la gara di febbraio? Se sì, dove posso reperire qualcosa di semplice da capire?
poi guardati un video di Teoria dei Numeri, tipo CB06_N...
Saresti così gentile da elencarmi tutti quelli che mi consigli di guardare, oltre a CB06_G e CB_C (quest'ultimo, che tratta la combinatoria, me l'ha consigliato un altro utente)?
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 21:59
da io.gina93
io ti consiglio di guardare tutti quelli là..
specialmente i video di:
campobasso_06, campobasso_07, carrara_07,
sono di livello basic, e cmq stai tranquillo, molti video si ripetono e quindi c'è poco da guardare..
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 22:04
da Olivo3
Grazie dei consigli!
Entro febbraio li guardo tutti
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 28 nov 2010, 22:48
da io.gina93
ricordati anche di esercitarti..
perchè vale più la pratica che la teoria..
ricordo una volta che c'era un problema, e si risolveva facilmente utilizzando i binomiali..
io i binomiali li avevo studiati questo mese, e me li ero già dimenticata!
il problema era questo:
Dario è occupato con i compiti di matematica. Finalmente riesce a risolvere l’esercizio che gli è stato assegnato per casa. Il risultato è 3568. All’improvviso gli viene in mente una domanda: “Quanti sono gli interi positivi formati da 4 cifre con le cifre ordinate da sinistra verso destra in modo strettamente crescente? Uno di questi numeri è sicuramente 3568. Invece, 3558 devo escluderlo – pensa tra sé e sé”.
Sapresti rispondere alla domanda di Dario? Quanti sono quei numeri?
bastava trovare tutte le possibili combinazioni dei numeri di 4 cifre distinte e cioè $ 9\cdot8\cdot7\cdot6 $ e poi dividere per $ 4! $, perchè presi 4 cifre distinte si possono avere $ 4\cdot3\cdot2\cdot1 $ numeri diversi, ma solo uno è scritto con le cifre crescenti... quindi $ \binom{9}{4}=126 $
qui guardati CB06_C, Combinatoria
io invece prima ho fatto il sistema ad alberi, poi mi sono accorta che era la somma di sommatorie...
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 29 nov 2010, 07:16
da Olivo3
Finche siamo qua fammi capire questo problema
Non so i binomiali... Spero vengano spiegati nel video
Perché 9*8*7*6 e il numero di interi aventi 4 cifre distinte? Cosa e perché dobbiamo dividere per 4? Cos'e 4*3*2*1?
E quella tonda con scritto 9 e sotto 4 cosa significa?
Per il video un utente mi ha consigliato di guardare il CB_C sempre sulla combinatoria... Li guardo entrambi?
E per i problemi sulle figure solide (tipo questo) c'è qualcosa
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 29 nov 2010, 16:09
da io.gina93
OFF TOPIC
allora il numero ha 4 cifre diverse.. ==> "abcd"
per la cifra "a", hai 9 scelte,9 perchè sono le cifre (escludiamo zero, perchè se fosse zero il numero sarebbe di tre cifre e non di 4), per "b" 8 scelte (perchè le cifre sono distinte quindi $ b \neq a $, qui è impossibile che b sia uguale a zero perchè $ b>a $), per "c" 7 scelte ($ c \neq a \neq b $) e per "d" 6 ($ d\neq c \neq a \neq b $)
quindi tutti i numeri di 4 cifre distinte sono $ 9\cdot 8\cdot7\cdot6 $
poi sai che le cifre devono essere in ordine crescente.. quindi fra tutte le combinazioni possibili di 4 cifre, solo una va bene cioè solo una ha le cifre in ordine...
esempio: prendiamo le cifre 2,4,1,3 i possibili numeri che hanno queste 4 cifre sono $ 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24 $ (vale lo stesso ragionamento di prima.. per 1 hai 4 scelte, per b ne hai 3 perchè b diverso da a ecc... ecc...)
$ 1234,1243, 1342,1324, 1423, 1432 $
$ 2341,2314,2413,2431,2134,2143 $
$ 3412,3421,3124,3142,3241,3214 $
$ 4123,4132,4231,4213,4321,4312 $
quindi presi 4 cifre distinte solo una su 24 va bene, in questo caso 1234...
ergo dobbiamo moltiplicare $ 9\cdot 8\cdot7\cdot6 $ per $ \displaystyle{\frac{1}{24}} $, ricordando che $ 24=4\cdot3\cdot2\cdot1 $ ottieni$ \displaystyle{\frac{9\cdot 8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}}=9\cdot7\cdot2=126 $
i video, penso siano uguali (o simili di difficoltà)..
non credo ti abbia dato uno difficile...
il video che ti ho citato, CB06_C, Combinatoria, contiene i binomiali (e altre perle di saggezza...)...
per i problemi solidi, non so.. in genere si cerca sempre di ridurli in figure piane...
Re: Esercizio geometria gara febbraio 2010
Inviato: 29 nov 2010, 16:27
da Olivo3
Ok ho capito il problema, non so come ringraziarti