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Stavolta i miei dubbi nascono da questo problema:

Quattro interi positivi a1 < a2 < a3 < a4 sono tali che, dati due qualunque di essi, il loro massimo
comun divisore `e maggiore di 1, ma mcd(a1, a2, a3, a4) = 1. Qual `e il minimo valore che pu`o
assumere a4?
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 30 (E) 105.

Ho provato a leggere la soluzione, ma non ne ho capita una riga
Qualcuno me lo può cortesemente spiegare?

PS: La risposta è la C (15).

allora tu sai che presi una coppia qualsiasi di questi 4 numeri (li chiamo a,b,c,d) ci sia un MCD>1
la prima cosa a cui si pensa è che tutti e 4 numeri siano multipli di 2, ma ciò andrebbe contro il testo perché dice che MCD di a,b,c,d è 1
quindi uno di questi 4 numeri (prendo d) non è multiplo di 2 (e sarà perciò dispari).
ora sarebbe impossibile che d abbia un solo divisore primo diverso da uno..

facciamo finta che d è uguale a 3 ciò significa che ogni coppia (a,3), (b,3), (c,3) ha un MCD > 1, e perciò a,b,c sono multipli di 3 ma anche questo andrebbe contro il testo perchè MCD di a,b,c,d è 3 e non 1.

facciamo finta che d è uguale a 9 (che ha solo un divisore primo) ciò significa che ogni coppia (a,9), (b,9), (c,9) ha un MCD > 1, e perciò a,b,c sono multipli di 3 ma anche questo andrebbe contro il testo perchè MCD di a,b,c,d è 3 (se non addirittura 9) e non 1.

quindi d ha due divisori primi, e i più piccoli numeri primi diversi da 2 sono 3 e 5. quindi d=15..
poi per i numeri a,b,c sai che sono pari e multipli di 3 o di 5 e quindi li scegli fra 6,12,18,24.... 10,20,30... il problema ti chiede il valore minimo di d quindi a,b,c<d a=6, b=10, c=12, d=15

ora sarebbe impossibile che d abbia un solo divisore primo diverso da uno..

Cosa intendi con questa frase? 9 non ha un divisore primo diverso da 1 (3)?

quindi d ha due divisori primi, e i più piccoli numeri primi diversi da 2 sono 3 e 5. quindi d=15..

Non ho capito questa frase, specie: "quindi d ha due divisori primi". Abbiamo escluso che d è uguale a 3 e 9, e come arriviamo che è uguale a 15?

Olivo3 ha scritto:

ora sarebbe impossibile che d abbia un solo divisore primo diverso da uno..

Cosa intendi con questa frase? 9 non ha un divisore primo diverso da 1 (3)?

quindi d ha due divisori primi, e i più piccoli numeri primi diversi da 2 sono 3 e 5. quindi d=15..

Non ho capito questa frase, specie: "quindi d ha due divisori primi". Abbiamo escluso che d è uguale a 3 e 9, e come arriviamo che è uguale a 15?

erano degli esmpi...
dicevo che è impossibile che d abbia un solo divisore primo.. 3=1x3 e 9=3x3... ovviamente la stessa storia la potevo fare per qualsiasi numero che avesse un solo divisore primo.. tipo 5,25,125... 3,9,27...

d=15 perchè 3x5

dicevo che è impossibile che d abbia un solo divisore primo.. 3=1x3 e 9=3x3... ovviamente la stessa storia la potevo fare per qualsiasi numero che avesse un solo divisore primo.. tipo 5,25,125... 3,9,27...

Quindi volevi dire che D non deve avere un solo divisore primo perchè se no l'mcd dei 4 numeri corrisponderebbe al divisore primo di D?

Provo a spiegartelo io..
1) d non può avere un solo divisore primo, altrimenti possiamo scrivere $d=m^n$ con $m$ primo qualsiasi e $n$ esponente qualsiasi (sarai d'accordo che una potenza di un primo ha solo un fattore primo diverso da 1)..
a questo punto, (a,d)>1 da cui a=m*QUALCOSA.. stesso ragionamento con (b,d)=m*QUALCOSALTRO e (c,d)=m*QUALCOSADIDIVERSOANCORA..
però così facendo (a,b,c,d)=m o una sua potenza, ciò va contro la tesi..
2) d ha 2 divisori primi, quindi (per il punto 1)..ora dato che abbiamo già escluso il caso che d sia pari (l'ha scritto gina all'inizio), quindi dato che d deve essere il minore possibile prendiamo i due più piccoli primi diversi da 2, quindi 3 e 5.. allora d=3*5=15..
3) troviamo effettivamente dei valori a, b, c che soddisfino le condizioni ad esempio a=6 b=10 c=12 così sappiamo che in effetti la soluzione esiste..

Quindi volevi dire che D non deve avere un solo divisore primo perchè se no l'mcd dei 4 numeri corrisponderebbe al divisore primo di D?

esattamente

Ho capito il ragionamento, ma cosa intendi con questa frase?

una potenza di un primo ha solo un fattore primo diverso da 1

intendo dire che 27 (potenza di 3 che è un numero primo) ha come unico fattore primo il 3 (in effetti "diverso da 1" è inutile, scrivendo di fretta mi deve essere sfuggito perchè 1 NON è un numero primo)..

anche 4096 che è 2^12=4096 ha come unico fattore primo il 2..

invece $36=6^2$, NON è la potenza di un primo e quindi NON ha un solo fattore primo..infatti ha come fattori primi il 2 e il 3..

chiaro??

Si, ora e tutto chiaro, avevo ipotizzato che intendessi questo, avendo capito il resto del discorso, ma ho preferito chiedertelo per essere sicuro.

Grazie a entrambi per la spiegazione

Vi posto questo problema:

Sia p(x) un polinomio di grado 2010. Qual ` e il massimo grado che pu` o avere il polinomio p(x − 1) − 3p(x) + 3p(x + 1) − p(x + 2)? (A) ` E sempre il polinomio nullo (B) 0 (C) 1 (D) 2007 (E) 2010

Anche qua, qualcuno riesce a darmi una spiegazione più concisa ed efficace di quella delle soluzioni ufficiali?

boh, in maniera abbastanza banale provi con p(x)=x^2010 e dovrebbe venirti di grado 2007 (ti fai solo i conti all'inizio ovviamente!)
inoltre si vede bene che non può mai avere grado 2010: ti basta scrivere p(x) = ax^2010 + q(x) e fare i conti.

tutto questo l'ho fatto a mente, quindi potrebbero essere boiate, ma se ben ricordo dovrebbe saltare fuori giusto