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Sia $\frac1n=m$, allora $\displaystyle \sum_{i=1}^k \frac{i}{n^i}=\sum_{i=1}^k im^i=\sum_{i=1}^{k}(i+1)m^i-\sum_{i=1}^k m^i =\sum_{i=1}^{k}(m^{i+1})'-\frac{m(m^k-1)}{m-1}=$
$\displaystyle=\left(\frac{m^2(m^k-1)}{m-1}\right)'-\frac{m(m^k-1)}{m-1}=\frac{km^{k+1}}{m-1}+\frac{m(m^k-1)}{m-1}-\frac{m^2(m^k-1)}{(m-1)^2}$

inizio scrivendo $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i}{n^i} = \sum_{\alpha = 1}^{k}\sum_{i=1}^{\alpha}\frac{1}{n^i} $ ( un modo più formaloso per fare come fece a nove anni Gauss nella leggenda quando, almeno nella versione che conosco io, per calcolare l'n-esimo numero triangolare fece un giochetto carino carino...XD). Essendo ora $ \sum_{r=1}^{k}\frac{1}{n^r} = \frac{n^{-k}}{1-n} +\frac{1}{n-1} $ si ha da calcolrare $ \sum_{w=1}^{k}\bigl( \frac{n^{-w}}{1-n}+\frac{1}{n-1} \bigr) = \frac{k}{n-1}-\frac{1}{n-1}\sum_{w=1}^{k}\frac{1}{n^w} = \frac{(kn-k-1)n^k +1}{n^k(n-1)^2} $ XD salvo errori di conto, almeno a livello concettuale dovrebbe essere tutto giusto...

usando il solito metodo del caro gauss giovincello ( quello di scrivere tutto a colonne e righe, non so come spiegarlo meglio...) si ha che $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i^n}{n^i} = \sum_{x=0}^{k-1}[(x+1)^n -x^n]\sum_{i=1+x}^{k}\frac{i}{n^i} $... Figo eh ? XD