OliForum Matematico

Questo problema è tratto dagli esami d\'ammissione alla Normale, anno 1996 problema 6:
<BR>A partire da un cerchio C1, tracciare successivamente un triangolo equilatero P1 inscritto in C1, in cerchio C2 inscritto in P1, un quadrato inscritto il C2, il cerchio C3 inscritto in P2, un pentagono regolare P3 inscritto in C3, e così via, ottenendo in tal modo una successione C1 contiene P1 contiene C2 contiene P2 contiene ... contiene Pn contiene Cn+1 contiene Pn+1... di cerchi e poligoni regolari concentrici, dove Pn ha n+2 lati.
<BR>Mostrare che l\'intersezione di tutti i cerchi Cn è un cerchio di raggio positivo. Il candidato può ricorrere alla disuguaglianza, valida per ogni intero k≥1: 1/(k+1)^2+1/(k+2)^2+1/(k+3)^2+...=sum[j=1..+inf](1/(k+j)<1/k.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 24-06-2003 21:43 ]

E se qualcuno prova a dire che non è difficile gli spezzo il collo.

Che gentilezza!!

cazzata...

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Bhè allora risolvilo! Dico così perché mi ha fatto penare tantissimo, poi in effetti potrebbe anche essere semplice sul serio.

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> scusa ma provando a farlo mi è venuto subito un piccolo dubbio che gradirei che mi spiegassi: i Cn sono cerchi concentrici di raggio sempre minore, come fanno ad avere un\'intersezione?? Al limite l\'intersezione il più piccolo cerchio n-esimo che è contenuto in tutti, ed è ovviamente di raggio positivo, seppur anche infinitamente piccolo... c\'è qlc che mi sfugge....... cosa sbaglio????

Bhè dovrei risponderti che il testo era quello, l\'ho ricopiato parola per parola, e quindi dovresti riuscire a interpretarlo.
<BR>Cmq anch\'io all\'inizio ho trovato qualche difficoltà di interpretazione, quel \"raggio positivo\" sta a indicare non infinitesimo, bisogna dimostrare che esiste un certo cerchio che è contenuto in tutti, il raggio non tende a 0.

Ho capito.... a questo punto sottoscrivo il tuo giudizio iniziale sul fatto che si tratta d\'un problema molto bastardo.... sono alla ricerca d\'una soluzione accettabile, ma non l\'ho ancora trovata... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

Trovane pure una inaccettabile, sarebbe già qualcosa... basta che sia giusta!

Premetto che non l\'ho risolto del tutto di mio, ho trovato la soluzione ufficiale sul libro della Normale e rispetto ai miei passaggi c\'era di uguale a dir tanto un 30%... meglio di niente... Cmq è meglio se vi mando la soluzione ufficiale:
<BR>indicando con Rn il raggio del cerchio Cn, l\'angolo in O del triangolo isoscele AOB avente AO = OB = Rn, A e B giacenti ovviamente sulla circonferenza Cn e R(n+1) altezza del triangolo isoscele rispetto alla base AB con il piede dell\'altezza giacente sulla circnferenza C(n+1), è uguale a
<BR>2pi-greco /(n+2) . Il rapporto R(n+1)/Rn = cos (pi-g/(n+2)) e moltiplicando queste disguglianze da 1 a m-1 si ha:
<BR>Rm / R1 = cos (pi-g/3) * cos (pig-4) * ... * cos (pig / (m+1))
<BR>Per provare la tesi è necessario e sufficiente dimostrare che i rapporti Rm / R1 non possono avvicinarsi indefinitamente a 0 al crescere di m, o, il che è lo stesso, che i logaritmi di tali rapporti debbono essere limitati dal basso.
<BR>Passando ai logaritmi a primo e 2° membro: log (Rm / R1) = log cos (pi-g/3)+ log cos (pi-g/4) +...+ log cos pi-g / (m+1). Ponendo An = pi -g (n+2), per ogni n maggiore o uguale a 1 si ha:
<BR>log cos An = -1/2 log (cos^2 An)^-1 = -1/2 log (1+tg^2An)
<BR>Ricordando che se t è maggiore di -1 vale la diseguaglianza log (1+t)<= t, che per ogni x si ha |sin(x)| <= |x| e che per ogni n>1 il valore di cosAn è maggiore di cosA1 = cos (pi-g/3) = 1/2 abbiamo:
<BR>log cos An >= -1/2 tg^2 An = -1/2 sin^2 An / cos^2 An >= -2 (pi-g / (n+2))^2
<BR>si ha quindi:
<BR>log (Rn/R1) >= -2 pi-g^2 [1/3^2 + 1/4^2 + .... + 1 / (m+1)^2]
<BR>usando il suggerimento con k=2 otteniamo:
<BR>log (Rn/R1)>= -pi-g^2
<BR>possiamo concludere osservando che, qualunque sia m, si ha:
<BR>Rm >= R1 * e ^ (pi-g^2)
<BR>quindi tutti i Cn contengono uno stesso cerchio e dunque la loro intersezione è un cerchio centrato nell\'origine di raggio maggiore o uguale a R1 * e ^ (pi-g^2).
<BR>Fine
<BR>Alla faccia del problemino....................